R中的标准正态分位数函数积分

Question

我需要计算积分除法，其中函数q_alpha（z）是标准正态分布的分位数函数。

我有一个关于分母的问题。由于正常的标准分布具有同音性，它是同步的，连续的等。分母术语的整合简单吗？我只需要将此函数的每个分位数提升到平方并继续计算？正确？

这是我在R中的代码：

library(Bolstad)

thau=1:99/100
z.standard.quantile=qnorm(thau,0,1)
z.standard.quantile.square=qnorm(thau,0,1)^2

sintegral(thau[1:50],z.standard.quantile[1:50])$value/sintegral(thau[1:50], z.standard.quantile.square[1:50])$value

结果是：-0.8676396

Answer 1

取qnorm的平方没有问题，但qnorm上的[0, 0.5]无界限（注意qnorm(0)是-Inf）所以积分是不是有限的。

我的第二个想法是，实际上没有必要使用Bolstad::sintegral（辛普森的规则）; R基函数integrate就足够了。或者，我们可以离散qnorm并使用梯形规则，因为qnorm是一个平滑函数，可以通过线性插值很好地近似。

我会写一个函数来评估你问题中积分的比例，但是在l上的下限：

## using `integrate`
f1 <- function (l) {
  a <- integrate(qnorm, lower = l, upper = 0.5)$value
  b <- integrate(function (x) qnorm(x) ^ 2, lower = l, upper = 0.5)$value
  a / b
  }

## using Trapezoidal rule, with `n` division on interval `[l, 0.5]`
f2 <- function (l, n) {
  x <- seq(l, 0.5, length = n)
  delta <- x[2] - x[1]
  y1 <- qnorm(x)
  y2 <- y1 ^ 2
  a <- sum(y1[-1] + y1[-n]) / 2 * delta
  b <- sum(y2[-1] + y2[-n]) / 2 * delta
  a / b
  }

这两个函数返回的结果与我们测试的结果非常相似：

f1 (0.1)
# [1] -1.276167

f2 (0.1, 1000)
# [1] -1.276166

现在，唯一感兴趣的是l -> 0（在数字意义上）时的限制行为。我们试试

l <- 10 ^ (- (1:16))
# [1] 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12
# [13] 1e-13 1e-14 1e-15 1e-16

y1 <- sapply(l, f1)
# [1] -1.2761674 -0.8698411 -0.8096179 -0.7996069 -0.7981338 -0.7979341
# [7] -0.7978877 -0.7978848 -0.7978846 -0.7978846 -0.7978846 -0.7978846
# [13] -0.7978846 -0.7978846 -0.7978846 -0.7978846

## quite a dense grid; takes some time to compute
y2 <- sapply(l, f2, n = 1e+6)
# [1] -1.2761674 -0.8698411 -0.8096179 -0.7996071 -0.7981158 -0.7979137
# [7] -0.7978877 -0.7978834 -0.7978816 -0.7978799 -0.7978783 -0.7978767
# [13] -0.7978750 -0.7978734 -0.7978717 -0.7978700

现在看来-0.7978附近有l -> 0的限制。

注意，您获得的-0.8676396实际上是f1(0.01)或f2(0.01, 1e+6)。