八度中的三次样条函数实现

Question

我大胆宣称，interp1(..., "spline")中实现的三次样条的Octave实现与例如Wolfram's Mathworld中概述的“自然三次样条”算法不同。我编写了自己的后者实现，并将其与interp1(..., "spline")函数的输出进行了比较，结果如下：

我发现当我尝试与4个点进行相同的比较时，解决方案也有所不同，而且，Octave解决方案与将单个三次多项式拟合到所有四个点相同（并且实际上不会产生分段样条。三个间隔）。

我也试图在Octave的splines实现中深入了解，发现在5分钟内阅读和理解它太过于迟钝。

我知道在实现三次样条时，可以选择边界条件的几个选项（“自然”与“钳制”）。我的实现使用“自然”边界条件（其中两个外部点的二阶导数设置为零）。

如果 Octave的三次样条曲线确实与标准三次样条曲线不同，那么究竟是什么呢？

编辑：

上面比较图中显示的两种解决方案的二阶差异在此绘制：

首先，在Octave的情况下似乎只有两个三次多项式：一个适合前两个区间，一个适合最后两个区间。其次，它们显然不使用“自然”样条，因为极端的二阶导数不会趋于零。

另外，我认为这个事实是我在中间（即第3个）点的实现的二阶差异只是一个巧合，而不是算法所要求的。对不同的点集重复此测试将确认/反驳这一点。

Answer 1

不同的结束条件解释了您的实现与Octave之间的区别。 Octave使用 not-a-knot 条件（取决于输入）

请参阅help spline

为了解释你的观察结果：由于非结点条件，第三个导数在第2和第（n-1）个断点处是连续的，所以这就是为什么Octave的二阶导数看起来更少“断裂”，因为它是前两个和后两个段的连续直线。如果你看三阶导数，你可以更清楚地看到效果 - 第三阶导数只在第3个阶段（中间）不连续

x = 1:5;
y = rand(1,5);
xx = linspace(1,5);
pp = interp1(x, y, 'spline', 'pp');
yy = ppval(pp, xx);
dyy = ppval(ppder(pp, 3), xx);
plot(xx, yy, xx, dyy);

pp数据结构也是这样的

pp =

  scalar structure containing the fields:

    form = pp
    breaks =

       1   2   3   4   5

    coefs =

       0.427823  -1.767499   1.994444   0.240388
       0.427823  -0.484030  -0.257085   0.895156
      -0.442232   0.799439   0.058324   0.581864
      -0.442232  -0.527258   0.330506   0.997395

    pieces =  4
    order =  4
    dim =  1
    orient = first