系列之和：a ^ 0 + 2a ^ 1 + 3 * a ^ 2 + 4 * a ^ 3 + ... + n * a ^（n-1）（mod M）

Question

有人可以让我知道一个有效的大n算法，它使用递归函数而不是几何求和公式来执行O（log（n））。

Answer 1

您需要使用几何级数之和的公式：a^1 + a^2 + ... a^n = (a^(n+1) - 1) / (a - 1)。使用exponentiation by squaring，您可以在O（log（n））中计算（a ^（n + 1） - 1）。如果M是素数除以（a - 1）则只是一个幂数 - 对于具有素数p的任何U互质，U^(-1) (mod p) = U^(p-2) (mod p)。您可以使用Fermat's little theorem来证明这一点。

Answer 2

首先，当你陈述 M＆lt; 10 ⁵ ，你知道所有数字都需要最多16位，所以只要稍微谨慎一点，你就不应该被精确问题所困扰。

接下来，作为 a ⁿ （mod M）=（a（mod M）） ⁿ （mod M），你也可以说 a＆lt; M＆lt; 10＆lt; 10 ⁵

接下来，如果你注意到你的 _n = a ⁰ + a ¹ ... a ^n-1 （mod M），您可以使用以下递归：

• u _2k = u _k + a ^k u _k （mod M）
• u _{k + 1} = u _k + a ^k （mod M）
• u _{2k + 1} = u _{k + 1} + a ^{k + 1} u _k （mod M ）= u _k + a ^k + a * a ^k u _k （mod M）

给定数n，你会发现log ₂ （n）数n，n / 2，n / 4，...，1并使用上面的公式，你可以轻松计算u _{n / 2 ⁱ} 和 ^{n / 2 i} 知道u _{n / 2 ^{i + 1}} 和 ^{n / 2 i + 1}

这个算法可能并不容易写（特别是不要忘记mod M操作确实没有溢出）因为测试不同，但是是 O（log _{2 （n））的}