在python中动态构建随机变量的函数

Question

我使用scipy.stats的随机变量如下：

import scipy.stats as st
x1 = st.uniform()
x2 = st.uniform()

现在我想基于先前的随机变量创建另一个随机变量，并为新的随机变量进行var之类的计算。假设我希望新的随机变量类似于max(2, x1) + x2。如何动态定义？

Answer 1

我的旧答案如下：

（当引用SO文档的答案被删除时，我被提示再次查看这个问题。我认为这是一个更好的答案。）

首先，据我所知，对于两个或多个变量的非线性函数的方差，没有一般方法可以得到一个很好的闭式表达式。可能大多数凡人采用某种蒙特卡罗策略来近似这样的数量。

以下是一些代码，可以生成针对此特定情况执行此操作的绘图。它适用于许多其他人。

从单位均匀随机变量生成两个伪随机样本，然后计算伪随机随机变量Y作为这些样本元素的函数。

>>> import scipy.stats as stats
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> import numpy as np
>>> X1 = stats.uniform.rvs(0,1, 5000)
>>> X2 = stats.uniform.rvs(0,1, 5000)
>>> Y = [max(2,x1)+x2 for (x1,x2) in zip(X1,X2)]

现在，为了确定该函数的密度函数，绘制其直方图。

>>> plt.hist(Y)
(array([ 501.,  526.,  490.,  481.,  513.,  488.,  525.,  490.,  521.,  465.]), array([ 2.00012599,  2.10007992,  2.20003386,  2.2999878 ,  2.39994173,
        2.49989567,  2.59984961,  2.69980354,  2.79975748,  2.89971141,
        2.99966535]), <a list of 10 Patch objects>)
>>> plt.show()

我们很幸运，因为它很容易识别。在这里。

这是一种制服，其支持是封闭的间隔[2,3]。我们可以再次使用scipy，这次是为了获得它的方差。其他时刻可用;见文档。

>>> stats.uniform.stats(2,1, moments='v')
array(0.08333333333333333)

这些都不是真的必要，不是吗？

作为U（0,1）随机变量X1从不超过1.因此，max（X1,2）必须为2.那么2 + X2必须是U（2,3）。该随机变量与X2具有相同的比例;只是它的位置已经改变。因此，它的方差必须相同，并且U（0,1）的方差为0.0833333。

编辑“下一天”：

刚刚学会（来自https://stackoverflow.com/a/46383333/131187）同情现在支持随机变量我很想尝试解决这个问题。

>>> from sympy.stats import Uniform, Variance
>>> from sympy import symbols, Integral
>>> X1 = Uniform('X1', 0, 1)
>>> X2 = Uniform('X2', 0, 1)

唉，正如其他答案的作者所说，似乎无法处理涉及max的表达。

>>> Variance(max(2, X1) + X2)
Traceback (most recent call last):
  File "<interactive input>", line 1, in <module>
  File "C:\Python34\lib\site-packages\sympy-1.0.1.dev0-py3.4.egg\sympy\core\relational.py", line 195, in __nonzero__
    raise TypeError("cannot determine truth value of Relational")
TypeError: cannot determine truth value of Relational

但是在这个问题的情况下并不重要。它很容易消除。我们有，它产生方差积分的精确值。

>>> Variance(2 + X2)
Variance(X2 + 2)
>>> Variance(2 + X2).evaluate_integral()
1/12

'旧答案'从这里开始：

我认为不是直接的。但是，这种方法可能对您有用。

假设您首先知道感兴趣的随机变量的函数的pdf或cdf。然后你可以在scipy.stats中使用rv_continuous来计算该函数的方差和其他时刻。

显然'有趣'从这里开始。通常你会尝试定义cdf。对于随机变量的任何给定值，这是表达式（例如您给出的表达式）不超过给定值的概率。因此，确定cdf减少到解决两个变量中的（无限）不等式集合。当然，通常有强大的模式可以大大降低执行此任务的复杂性和难度。

Answer 2

在OpenTURNS中，使用Symbolic functions可以进行更多的操作。

在您的情况下，x1和x2代表独立分布

import openturns as ot
x1 = ot.Uniform() 
x2 = ot.Uniform()

因此，边际分别为x1和x2的组合分布为：

dist = ot.ComposedDistribution([x1, x2], ot.IndependentCopula(2))
dist.setDescription(["x1", "x2"])  # labels 

# note the use of "IndependentCopula of dimension 2" as second argument 

如果您要使用大小为5的样本

sample = dist.getSample(5)
print(sample)
>>>     [ x1        x2        ]
0 : [ -0.752141 -0.897212 ]
1 : [  0.850966  0.857914 ]
2 : [ -0.340213 -0.344882 ]
3 : [ -0.166526  0.458643 ]
4 : [  0.378453 -0.908958 ]

如前所述，您可以将基于（x1，x2）的模型定义为符号函数。在您的示例中：y = max（2，x1）+ x2

model = ot.SymbolicFunction(["x1", "x2"], ["max(2, x1) + x2"])

您可以申请model(sample)

    [ y0      ]
0 : [ 1.10279 ]
1 : [ 2.85791 ]
2 : [ 1.65512 ]
3 : [ 2.45864 ]
4 : [ 1.09104 ]

但是您的模型可以是多维的。例如：

model = ot.SymbolicFunction(["x1", "x2"], ["x1^2+x2", "x2^2+x1"])

应用于样品将产生二维样品

>>>    [ y0         y1      ]
0   -0.331496   0.05284813
1   1.582057    1.586982
2   -0.2291374  -0.2212693
3   0.4863741   0.04382738
4   -0.7657314  1.204657

在创建更高级的模型时，这非常有趣。在后一种情况下，绘制大小为10,000 out = model(dist.getSample(10000))的输出可得出

import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(out.getMarginal(0),out.getMarginal(1), s=0.5)