Question

我有两个查询表，如果可能的话，我想用简单的数学来消除。

第一个是从数组中的索引到序列{0} =＆gt;的映射。 1，{1,2} =＆gt; 2，{3,4,5} =＆gt; 3，s.t。有一个，两个2s，三个3s等。或者视觉上：

lookup1[N] = { 
    1,
    2, 2,
    3, 3, 3,
    4, 4, 4, 4,
    5, 5, 5, 5, 5,
    6, 6, 6, 6, 6, 6,
    7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,
    8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,
    ...
}

第二个是增加序列，第一个序列是（1），第二个（1,2），第三个（1,2,3）。它类似于模数周期，但在每个周期后增加。目测：

lookup2[N] = {
    1,
    1, 2,
    1, 2, 3,
    1, 2, 3, 4,
    1, 2, 3, 4, 5,
    1, 2, 3, 4, 5, 6,
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
    ...
}

这些需要从索引进行映射。对于第二次查找，输入5,4,3将分别映射到3,2,1。

是否有任何数学公式可以产生这些模式？我宁愿执行一些指令而不是内存访问。

Answer 1

对于lookup1，这看起来与Triangular numbers密切相关，实际上它是反问题。三角形数字是具有n行的三角形中的项目数。所以你有T1 = 1，T2 = 1 + 2 = 3，T3 = 1 + 2 + 3 = 6，T4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.或者作为函数f（1）= 1，f（ 2）= 3，f（3）= 6，f（4）= 10.

你想做倒数，所以g（1）= 1，g（3）= 2，g（6）= 3，g（10）= 4.我们稍后会担心其他值。

有一个三角数f（n）= n（n + 1）/ 2的公式。一个更复杂的公式用于逆

g(n) = (sqrt(8 * n + 1) - 1) / 2

一个小实验表明

ceil((sqrt(8*n+1) - 1) / 2 )

给出你想要的数字。

对于第二部分，您可以使用反三角数函数，然后找到前一个三角数，并取差值

X =  ceil((sqrt(8*n+1) - 1) / 2);
T = (X * (X-1))/2 ; 
print(n-T);

轻微的警示。在转换点sqrt(8*n+1)应评估为奇整数值。对于非常大的n可能会发生的事情比舍入错误可能会产生影响。我已经测试了这个超过一百万，并且没有看到问题发生。

生成Incresing序列的数学公式

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