Question

给定两个段端点A和B（二维），我想基于值t进行线性插值，即：

C = A + t(B-A)

在理想世界中，A，B和C应该是共线的。但是，我们在此处使用有限的浮点运算，因此会出现小的偏差。为了解决其他操作中的数值问题，我正在使用最初由Jonathan Shewchuk创建的强大的自适应例程。特别是，Shewchuk实现了一个方向函数orient2d，它使用自适应精度来精确测试三个点的方向。

这里我的问题：是否有一个已知的程序如何使用浮点数学计算插值，以便它恰好位于A和B之间的线上？在这里，我不太关心插值本身的准确性，更关心最终的共线性。换句话说，只要满足共线性，只要C移动一点就可以了。

Answer 1

坏消息

无法满足请求。有A和B的值，除了t是浮点数的0和1之外，没有lerp(A, B, t)的值。

一个简单的单精度示例是x1 = 12345678.f和x2 = 12345679.f。无论y1和y2的值如何，要求的结果都必须在x和12345678.f之间有一个12345679.f分量，并且两者之间没有单精度浮点数这两个。

（好消息）好消息

但是，精确的插值可以表示为5个浮点值的总和（在2D情况下为矢量）：一个用于公式的结果，一个用于每个操作中的错误[1]，另一个用于将错误乘以t。我不确定这对您是否有用。为简单起见，这是单精度算法的一维C版本，使用融合乘法加法来计算乘积误差，

#include <math.h>

float exact_sum(float a, float b, float *err)
{
    float sum = a + b;
    float z = sum - a;
    *err = a - (sum - z) + (b - z);
    return sum;
}

float exact_mul(float a, float b, float *err)
{
    float prod = a * b;
    *err = fmaf(a, b, -prod);
    return prod;
}

float exact_lerp(float A, float B, float t,
                 float *err1, float *err2, float *err3, float *err4)
{
    float diff = exact_sum(B, -A, err1);
    float prod = exact_mul(diff, t, err2);
    *err1 = exact_mul(*err1, t, err4);
    return exact_sum(A, prod, err3);
}

为了使该算法起作用，操作需要在最近舍入模式下符合IEEE-754语义。 C标准并不能保证这一点，但是至少在支持SSE2 [2] [3]的处理器中，可以指示GNU gcc 编译器这样做。

保证(result + err1 + err2 + err3 + err4)的算术加等于期望的结果；但是，不能保证这些数量的浮点加法将是准确的。

要使用上面的示例，exact_lerp(12345678.f, 12345679.f, 0.300000011920928955078125f, &err1, &err2, &err3, &err4)返回结果12345678.f，而err1，err2，err3和err4是{{ 1}}，0.0f，0.0f和0.300000011920928955078125f。确实，正确的结果是12345678.300000011920928955078125，它不能表示为单精度浮点数。

一个更复杂的示例：0.0f返回exact_lerp(0.23456789553165435791015625f, 7.345678806304931640625f, 0.300000011920928955078125f, &err1, &err2, &err3, &err4)，错误为2.3679010868072509765625f，6.7055225372314453125e-08f，8.4771045294473879039287567138671875e-08f和1.490116119384765625e-08f。这些数字加起来就是准确的结果，即2.36790125353468468550173374751466326415538787841796875，不能精确地存储在单精度浮点数中。

以上示例中的所有数字均使用其确切值而不是近似值书写。例如，不能将0.3精确地表示为单精度浮点数；最接近的精确值为0.300000011920928955078125，这是我使用过的精确值。

如果按此顺序计算2.66453525910037569701671600341796875e-15f，则可能会得到一个在用例中被视为共线的近似值。也许值得一试。

参考文献

Accurate Floating Point Product and Exponentiation.

[2] Enabling strict floating point mode in GCC
[3] Semantics of Floating Point Math in GCC

强大的线性插值

1 个答案:

坏消息

（好消息）好消息

参考文献