（指数）缩放互补误差函数，通常由erfcx指定，在数学上定义为erfcx（x）：= e x 2 erfc（ X）。它经常发生在物理学和化学中的扩散问题中。虽然某些数学环境（例如MATLAB和GNU Octave）提供此功能，但C标准数学库中不存在该数据库，该库仅提供erf()和erfc()。
虽然可以直接基于数学定义实现自己的erfcx()，但这仅适用于有限的输入域，因为在中等幅度的参数的正半平面erfc()下溢，exp()溢出，例如this question中所述。
与C一起使用时，可以调整一些erfcx()开源实现，例如Faadeeva package中的那个，如this question的响应所指出的那样。但是，这些实现通常不能为给定的浮点格式提供完全准确性。例如，使用2 32 测试向量的测试显示，Faadeeva包提供的erfcx()的最大误差在正半平面为8.41 ulps，在负半平面为511.68 ulps。平面。
准确实现的合理界限是4 ulps，对应于Intel's Vector Math库的LA概要中数学函数的精度界限，我发现这是非平凡数学的合理界限功能实现需要良好的准确性和良好的性能。
如果只使用C标准数学库，并且不需要外部库，那么erfcx()和相应的单精度版本erfcxf()如何准确实现？我们可以假设C的float nad double类型映射到IEEE 754-2008 binary32和binary64浮点类型。可以假设对融合乘法 - 加法运算（FMA）的硬件支持，因为目前所有主要处理器架构都支持此功能。
答案 0 :(得分：3)
到目前为止，我发现erfcx()实施的最佳方法是基于以下论文：
微米。 M. Shepherd和J. G. Laframboise，“Chebyshev逼近（1 + 2 x）exp（x 2 ）erfc x在0≤x<∞”。 计算数学，第36卷，第153期，1981年1月，第249-253页(online)
本文提出了巧妙的转换，它将缩放的互补误差函数映射到一个紧密有界的辅助函数，该函数适用于简单的多项式逼近。为了提高性能，我已经尝试了各种变换，但所有这些都对精度产生了负面影响。变换中常数K的选择（x-K）/（x + K）与核心近似的精度具有非显而易见的关系。我凭经验确定了“最佳”值，这与论文不同。
核心近似的参数转换和中间结果返回到erfcx结果会产生额外的舍入误差。为了减轻它们对准确性的影响，我们需要应用补偿步骤，我在之前的question & answer regarding erfcf中对此进行了详细介绍。 FMA的可用性极大地简化了这项任务。
生成的单精度代码如下所示：
/*
* Based on: M. M. Shepherd and J. G. Laframboise, "Chebyshev Approximation of
* (1+2x)exp(x^2)erfc x in 0 <= x < INF", Mathematics of Computation, Vol. 36,
* No. 153, January 1981, pp. 249-253.
*
*/
float my_erfcxf (float x)
{
float a, d, e, m, p, q, r, s, t;
a = fmaxf (x, 0.0f - x); // NaN-preserving absolute value computation
/* Compute q = (a-2)/(a+2) accurately. [0,INF) -> [-1,1] */
m = a - 2.0f;
p = a + 2.0f;
#if FAST_RCP_SSE
r = fast_recipf_sse (p);
#else
r = 1.0f / p;
#endif
q = m * r;
t = fmaf (q + 1.0f, -2.0f, a);
e = fmaf (q, -a, t);
q = fmaf (r, e, q);
/* Approximate (1+2*a)*exp(a*a)*erfc(a) as p(q)+1 for q in [-1,1] */
p = 0x1.f10000p-15f; // 5.92470169e-5
p = fmaf (p, q, 0x1.521cc6p-13f); // 1.61224554e-4
p = fmaf (p, q, -0x1.6b4ffep-12f); // -3.46481771e-4
p = fmaf (p, q, -0x1.6e2a7cp-10f); // -1.39681227e-3
p = fmaf (p, q, 0x1.3c1d7ep-10f); // 1.20588380e-3
p = fmaf (p, q, 0x1.1cc236p-07f); // 8.69014394e-3
p = fmaf (p, q, -0x1.069940p-07f); // -8.01387429e-3
p = fmaf (p, q, -0x1.bc1b6cp-05f); // -5.42122945e-2
p = fmaf (p, q, 0x1.4ff8acp-03f); // 1.64048523e-1
p = fmaf (p, q, -0x1.54081ap-03f); // -1.66031078e-1
p = fmaf (p, q, -0x1.7bf5cep-04f); // -9.27637145e-2
p = fmaf (p, q, 0x1.1ba03ap-02f); // 2.76978403e-1
/* Divide (1+p) by (1+2*a) ==> exp(a*a)*erfc(a) */
d = a + 0.5f;
#if FAST_RCP_SSE
r = fast_recipf_sse (d);
#else
r = 1.0f / d;
#endif
r = r * 0.5f;
q = fmaf (p, r, r); // q = (p+1)/(1+2*a)
t = q + q;
e = (p - q) + fmaf (t, -a, 1.0f); // residual: (p+1)-q*(1+2*a)
r = fmaf (e, r, q);
if (a > 0x1.fffffep127f) r = 0.0f; // 3.40282347e+38 // handle INF argument
/* Handle negative arguments: erfcx(x) = 2*exp(x*x) - erfcx(|x|) */
if (x < 0.0f) {
s = x * x;
d = fmaf (x, x, -s);
e = expf (s);
r = e - r;
r = fmaf (e, d + d, r);
r = r + e;
if (e > 0x1.fffffep127f) r = e; // 3.40282347e+38 // avoid creating NaN
}
return r;
}
此实现在负半平面中的最大误差将取决于标准数学库的expf()实现的准确性。使用英特尔编译器版本13.1.3.198，并使用/fp:strict进行编译我在正半平面中观察到最大误差为2.00450 ulps，在穷举测试中观察到负半平面中的最大误差为2.38412 ulps。我现在能说的最好，expf()的忠实实施将导致最大误差小于2.5 ulps。
请注意，虽然代码包含两个分区，这些分区可能是慢速操作，但它们以倒数的特殊形式出现，因此可以在许多平台上使用快速倒数近似。只要倒数近似被忠实地舍入，基于实验，对erfcxf()准确度的影响似乎可以忽略不计。即使是稍微大一些的错误，例如快速SSE版本（最大错误<2.0 ulps）似乎只会产生轻微影响。
/* Fast reciprocal approximation. HW approximation plus Newton iteration */
float fast_recipf_sse (float a)
{
__m128 t;
float e, r;
t = _mm_set_ss (a);
t = _mm_rcp_ss (t);
_mm_store_ss (&r, t);
e = fmaf (0.0f - a, r, 1.0f);
r = fmaf (e, r, r);
return r;
}
双精度版本erfcx()在结构上与单精度版本erfcxf()相同，但需要使用更多项的minimax多项式近似。这在优化核心近似时提出了挑战，因为当搜索空间非常大时，许多启发式算法将会崩溃。下面的系数代表了我迄今为止的最佳解决方案，并且肯定有改进的余地。使用英特尔编译器和/fp:strict构建，并使用2 32 随机测试向量，观察到的最大误差在正半平面为2.83788 ulps，在负半平面为2.77856 ulps。
double my_erfcx (double x)
{
double a, d, e, m, p, q, r, s, t;
a = fmax (x, 0.0 - x); // NaN preserving absolute value computation
/* Compute q = (a-4)/(a+4) accurately. [0,INF) -> [-1,1] */
m = a - 4.0;
p = a + 4.0;
r = 1.0 / p;
q = m * r;
t = fma (q + 1.0, -4.0, a);
e = fma (q, -a, t);
q = fma (r, e, q);
/* Approximate (1+2*a)*exp(a*a)*erfc(a) as p(q)+1 for q in [-1,1] */
p = 0x1.edcad78fc8044p-31; // 8.9820305531190140e-10
p = fma (p, q, 0x1.b1548f14735d1p-30); // 1.5764464777959401e-09
p = fma (p, q, -0x1.a1ad2e6c4a7a8p-27); // -1.2155985739342269e-08
p = fma (p, q, -0x1.1985b48f08574p-26); // -1.6386753783877791e-08
p = fma (p, q, 0x1.c6a8093ac4f83p-24); // 1.0585794011876720e-07
p = fma (p, q, 0x1.31c2b2b44b731p-24); // 7.1190423171700940e-08
p = fma (p, q, -0x1.b87373facb29fp-21); // -8.2040389712752056e-07
p = fma (p, q, 0x1.3fef1358803b7p-22); // 2.9796165315625938e-07
p = fma (p, q, 0x1.7eec072bb0be3p-18); // 5.7059822144459833e-06
p = fma (p, q, -0x1.78a680a741c4ap-17); // -1.1225056665965572e-05
p = fma (p, q, -0x1.9951f39295cf4p-16); // -2.4397380523258482e-05
p = fma (p, q, 0x1.3be1255ce180bp-13); // 1.5062307184282616e-04
p = fma (p, q, -0x1.a1df71176b791p-13); // -1.9925728768782324e-04
p = fma (p, q, -0x1.8d4aaa0099bc8p-11); // -7.5777369791018515e-04
p = fma (p, q, 0x1.49c673066c831p-8); // 5.0319701025945277e-03
p = fma (p, q, -0x1.0962386ea02b7p-6); // -1.6197733983519948e-02
p = fma (p, q, 0x1.3079edf465cc3p-5); // 3.7167515521269866e-02
p = fma (p, q, -0x1.0fb06dfedc4ccp-4); // -6.6330365820039094e-02
p = fma (p, q, 0x1.7fee004e266dfp-4); // 9.3732834999538536e-02
p = fma (p, q, -0x1.9ddb23c3e14d2p-4); // -1.0103906603588378e-01
p = fma (p, q, 0x1.16ecefcfa4865p-4); // 6.8097054254651804e-02
p = fma (p, q, 0x1.f7f5df66fc349p-7); // 1.5379652102610957e-02
p = fma (p, q, -0x1.1df1ad154a27fp-3); // -1.3962111684056208e-01
p = fma (p, q, 0x1.dd2c8b74febf6p-3); // 2.3299511862555250e-01
/* Divide (1+p) by (1+2*a) ==> exp(a*a)*erfc(a) */
d = a + 0.5;
r = 1.0 / d;
r = r * 0.5;
q = fma (p, r, r); // q = (p+1)/(1+2*a)
t = q + q;
e = (p - q) + fma (t, -a, 1.0); // residual: (p+1)-q*(1+2*a)
r = fma (e, r, q);
/* Handle argument of infinity */
if (a > 0x1.fffffffffffffp1023) r = 0.0;
/* Handle negative arguments: erfcx(x) = 2*exp(x*x) - erfcx(|x|) */
if (x < 0.0) {
s = x * x;
d = fma (x, x, -s);
e = exp (s);
r = e - r;
r = fma (e, d + d, r);
r = r + e;
if (e > 0x1.fffffffffffffp1023) r = e; // avoid creating NaN
}
return r;
}