所以我一直在阅读，如何在类似this SO question和this 3 part series以及especially this等网页上将ADT转换为真实数字并操纵它们。
最后一个链接的“麻烦”部分引起了我的注意，我尝试在其中解决Nat，即使该文章指出它是不可能的。
Nat = 1 + Nat
Nat - Nat = 1
Nat(1 - 1) = 1
Nat = 1 / (1 - 1)
这可能看起来完全是胡说八道，因为我刚刚除以0（你可能是对的），但是如果你读了这些链接中的任何一个或类似的东西，那么你会注意到它看起来非常类似于a的定义列表。
List(x) = 1 / (1 - x)
所以你可以写出像Nat = List(1) = 1 + 1 + 1 + ...这样的Nat，这正是你在起始等式中重复替换所得到的。这也等同于在Haskell中定义像这样的自然数：
type Nat = [()]
这绝对是自然数字的有效编码，其中0 = []和S(N) = () : N。
所以我的问题是我怎么得到一个有效的结果呢？我刚刚除以零。更不用说起始等式本身就是一个矛盾。
那么为什么我会在最后得到一些有意义的东西呢？这只是纯粹的巧合还是在这个背景下以某种方式定义的0除法是否有意义？
答案 0 :(得分：1)
由于Nat是无限的，因此您无法真正使用Nat - Nat = Nat ⋅ (1 - 1) = Nat ⋅ 0 = 0。差异Nat - Nat是某些有限数，而Nat显然是无限的。所以这个1 - 1实际上并不为零，它在nonstandard analysis中更像是一个无穷小的值。如果你用无穷小的东西划分某些东西，你就会得到一些不同的东西（无限的，甚至是......），但是你并没有完全分裂为零。
事实上，我认为你所问过的悖论可以被视为“Nat无限的证明” - 因为如果它是有限的，你将除以零。
除此之外，你无法通过这种类型的算术来证明 任何东西......这是一种有趣的消遣，但不是真正的数学。