Question

我正在研究一种方法，只使用二元运算符（＆lt;＆lt;＆gt;＆gt; + ^〜＆amp; |！）将有符号整数除以2的幂，结果必须是朝向我在Stackoverflow上遇到问题的this question，然而，我无法理解它为什么会起作用。这是解决方案：

int divideByPowerOf2(int x, int n)
{
    return (x + ((x >> 31) & ((1 << n) + ~0))) >> n;
}

我理解x >> 31部分（如果x为负数，则仅添加下一部分，因为如果它为正x将自动向0舍入）。但令我困扰的是(1 << n) + ~0部分。它怎么样？

Answer 1

假设2补码，只是位移的股息相当于某种划分：不是传统的划分，我们将被除数除以下一个除数的倍数。但另一种我们将股息向负无穷大方向发展。我重新发现，在Smalltalk中，请参阅http://smallissimo.blogspot.fr/2015/03/is-bitshift-equivalent-to-division-in.html。

例如，让我们将-126除以8.传统上，我们会写

-126 = -15 * 8 - 6

但是如果我们向无穷大方向前进，我们会得到一个积极的余数并写下来：

-126 = -16 * 8 + 2

位移正在执行第二个操作，就位模式而言（假设为了短的8位长int）：

1000|0010 >> 3 = 1111|0000
1000|0010      = 1111|0000 * 0000|1000 + 0000|0010

那么，如果我们希望传统的除数与商为零并且剩余的相同符号作为股息呢？很简单，我们只需要为商添加1 - 当且仅当被除数为负数且除法不精确时。

你看到x>>31对应第一个条件，被除数是负数，假设int有32位。

第二个术语对应于第二个条件，如果除法是不精确的。

看看如何编码-1，-2，-4，......在两个补码中：1111 | 1111,1111 | 1110,1111 | 1100。因此，对n的2次幂的否定有n个尾随零。

当被除数有n个尾随零并且我们除以2 ^ n时，则不需要将1加到最终商。在任何其他情况下，我们需要添加1。

（（1＆lt; n）+〜0）正在做的是创建一个带有n个尾随的掩码。

最后一点并不重要，因为我们将向右移动并将它们扔掉。因此，如果除法是精确的，则除数的n个尾随位为零，我们只添加将被跳过的n 1。相反，如果除法是不精确的，那么被除数的n个尾随位中的一个或多个是1，我们肯定会导致进位到n + 1位：这就是我们如何加1到商（我们在红利中添加2 ^ n）。这可以解释一下吗？

Answer 2

这是＆＃34;只写代码＆＃34;：而不是试图理解代码，尝试自己创建。

例如，让我们将数字除以8（向右移3）。如果数字为负数，则正常的右移向错误的方向进行。让我们来修复＆＃34;它通过添加一个数字：

int divideBy8(int x)
{
    if (x >= 0)
        return x >> 3;
    else
        return (x + whatever) >> 3;
}

在这里，您可以为whatever提出数学公式，或进行一些试验和错误。无论如何，这里whatever = 7：

int divideBy8(int x)
{
    if (x >= 0)
        return x >> 3;
    else
        return (x + 7) >> 3;
}

如何统一这两个案例？你需要创建一个如下所示的表达式：

(x + stuff) >> 3

其中stuff为7表示负数x，0表示正数x。这里的技巧是使用x >> 31，它是一个32位数，其位等于x的符号位：全0或全1.因此stuff是

(x >> 31) & 7

将所有这些结合起来，并用2的更一般的幂替换8和7，你得到你所问的代码。

注意：在上面的描述中，我假设int代表一个32位硬件寄存器，硬件使用两个补码表示来进行右移。

Answer 3

OP的引用是C#代码和许多微妙的差异导致它与C一起错误代码，因为这篇文章被标记了。

int不一定是32位，因此使用32的幻数不能提供强大的解决方案。

特别是(1 << n) + ~0会导致实现定义的行为，当n导致某个位移动到符号位置时。编码不好。

将代码限制为仅使用＆＃34;二进制＆＃34;运算符<< >> + ^ ~ & | !鼓励编码人员假设关于int的内容，这些内容不可移植，也不符合C规范。因此，OP发布的代码并没有＆＃34;工作＆＃34;一般来说，虽然可以在许多常见的实现中工作。

当int不是2补码时OP代码失败，不使用范围[-2147483648 .. 2147483647]或1 << n使用的实现行为不符合预期。

// weak code
int divideByPowerOf2(int x, int n) {
  return (x + ((x >> 31) & ((1 << n) + ~0))) >> n;
}

一个简单的替代方案，假设long long超出了int的范围。我怀疑这符合OP目标的一些角落，但OP的既定目标鼓励非强健编码。

int divideByPowerOf2(int x, int n) {
  long long ill = x;
  if (x < 0) ill = -ill;
  while (n--) ill >>= 1;
  if (x < 0) ill = -ill;
  return (int) ill;
}

将有符号整数除以2的幂

3 个答案: