Question

Binary palindromes: numbers whose binary expansion is palindromic.
Binary Palindrome - ＆gt;是一个二进制表示为回文的数字。
Here is link to the solution with naive approach

我已从上面的链接中读到它并给出一个公式来找到第n个二元回文。我无法理解，因此编码解决方案。

def palgenbase2(): # generator of palindromes in base 2
    #yield 0
    x, n, n2 = 1, 1, 2
    m = 1;
    while True:
        for y in range(n, n2):
            s = format(y, 'b')
            yield int(s+s[-2::-1], 2)
        for y in range(n, n2):
            s = format(y, 'b')
            yield int(s+s[::-1], 2)
        x += 1
        n *= 2
        n2 *= 2
        if n2 > 1000000000:
            break

ans = {}

for i,j in  enumerate(palgenbase2()):
    print i,j
    ans[i]=j

with open("output","a") as f:
    f.write(ans)

#use the saved output to give answer to query later
#this will work but it takes too much time.

n = int(raw_input())
for c in range(0,n):
    z = int(raw_input())
    print ans[z]

这是一个Python代码，但它产生了所有这些回文我需要程序帮助才能直接获得第n个二元回文如下：

输入 - ＆gt; 1＆lt; = n＆lt; = 1000000000
  功能 - ＆gt; F（N）
  输出 - ＆gt; nth binary palindrome。

我们可以使用提到here的公式更好地完成这项工作吗？

Answer 1

这是A006995给出的递归算法的相当直接的实现。

为了提高效率，我使用位移来执行二进制求幂：当x是非负整数时，1 << x相当于2 ** x，但速度要快得多（至少，在标准的CPython上，它在Python 2和Python 3中都有。）

此外，为了使递归更有效，该函数将先前计算的值存储在字典中。这也让我们可以轻松处理递归公式本身无法处理的n <= 2。

#!/usr/bin/env python

''' Binary palindromes

    Find (non-negative) integers which are palindromes when written in binary

    See http://stackoverflow.com/q/39675412/4014959
    and https://oeis.org/A006995

    Written by PM 2Ring 2016.09.24

    Recursion for n>2: a(n)=2^(2k-q)+1+2^p*a(m), where k:=floor(log_2(n-1)), and p, q and m are determined as follows:

    Case 1: If n=2^(k+1), then p=0, q=0, m=1;

    Case 2: If 2^k<n<2^k+2^(k-1), then set i:=n-2^k, p=k-floor(log_2(i))-1, q=2, m=2^floor(log_2(i))+i;

    Case 3: If n=2^k+2^(k-1), then p=0, q=1, m=1;

    Case 4: If 2^k+2^(k-1)<n<2^(k+1), then set j:=n-2^k-2^(k-1), p=k-floor(log_2(j))-1, q=1, m=2*2^floor(log_2(j))+j; 
'''

#Fast Python 3 version of floor(log2(n))
def flog2(n):
    return n.bit_length() - 1

def binpal(n, cache={1:0, 2:1, 3:3}):
    if n in cache:
        return cache[n]

    k = flog2(n - 1)
    b = 1 << k
    a, c = b >> 1, b << 1

    if n == c:
        p, q, m = 0, 0, 1
    elif b < n < a + b:
        i = n - b
        logi = flog2(i)
        p, q, m = k - logi - 1, 2, (1 << logi) + i
    elif n == a + b:
        p, q, m = 0, 1, 1
    else:
        #a + b < n < c
        i = n - a - b
        logi = flog2(i)
        p, q, m = k - logi - 1, 1, (2 << logi) + i

    result = (1 << (2*k - q)) + 1 + (1 << p) * binpal(m)
    cache[n] = result
    return result

def palgenbase2(): 
    ''' generator of binary palindromes '''
    yield 0
    x, n, n2 = 1, 1, 2
    while True:
        for y in range(n, n2):
            s = format(y, 'b')
            yield int(s+s[-2::-1], 2)
        for y in range(n, n2):
            s = format(y, 'b')
            yield int(s+s[::-1], 2)
        x += 1
        n *= 2
        n2 *= 2

gen = palgenbase2()

for i in range(1, 30):
    b = next(gen)
    c = binpal(i)
    print('{0:>2}: {1} {1:b} {2}'.format(i, b, c))

<强>输出

 1: 0 0 0
 2: 1 1 1
 3: 3 11 3
 4: 5 101 5
 5: 7 111 7
 6: 9 1001 9
 7: 15 1111 15
 8: 17 10001 17
 9: 21 10101 21
10: 27 11011 27
11: 31 11111 31
12: 33 100001 33
13: 45 101101 45
14: 51 110011 51
15: 63 111111 63
16: 65 1000001 65
17: 73 1001001 73
18: 85 1010101 85
19: 93 1011101 93
20: 99 1100011 99
21: 107 1101011 107
22: 119 1110111 119
23: 127 1111111 127
24: 129 10000001 129
25: 153 10011001 153
26: 165 10100101 165
27: 189 10111101 189
28: 195 11000011 195
29: 219 11011011 219

如果你需要在Python 2上运行它，你将无法使用flog2函数，因为Python 2整数没有bit_length方法。这是一个替代版本：

from math import floor, log

def flog2(n):
    return int(floor(log(n) / log(2)))

Answer 2

我不会写完整的代码。让我们检查算法

这些列是：位数，组合，组合计数

1 1 | 1
2 11 | 1
3 101 111 | 2
4 1001 1001 | 2
5 10001 10101 11011 11111 | 4
6 100001 101101 110011 11111 | 4

如果您按照本系列进行操作，则每两步会增加一个指数。令n为位计数，其位数具有以下组合量：2＆lt;（＆lt;（n-1）＆gt;> 1）。现在我不知道是否有可能以近似的形式计算它，但递归是非常快的，因为它是指数的：令n为n-1位的计数，m为当前计数

int i,n=0,m=0;
for (i=1;m<nth;i++)
{
   n=m;
   m+=2<<((i-1)>>1);
}

现在您知道需要多少位：i

构建一个char数组，其中（i + 1）/ 2位为100 ... 0 您以二进制形式添加（nth-n）-1（-1因为基于0）。和opla！你镜像你的令牌并结束。示例：您需要12个元素你要加1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 4。所以你知道你的第12个元素有6位。直到5位，你有10个元素。所以12-10 = 2 2-1 = 1 Yout有点像 100（6位/ 2）你添加1-＆gt;二进制1 100 + 1 = 101 您的第n个回文编号具有以下格式101101.它也适用于奇数位计数。检查奇点1和2位计数

我想找到第n个二元回文

2 个答案: