Question

表情符号由两个分号之间的任意正数下划线组成。因此，最短的表情符号是;_;。字符串;__;和;_____________;也是有效的表情符号。

给出一个仅包含（;，_）的字符串。问题是将字符串分成一个或多个表情符号并计算可能的分区数。每个表情符号必须是消息的子序列，并且消息的每个字符必须只属于一个表情符号。请注意，子序列不需要是连续的。 subsequence definition

我想到的方法是编写一个递归方法如下：

countDivision(string s){
 //base cases
 if(s.empty()) return 1;
 if(s.length()<=3){
   if(s.length()!=3) return 0;
   return s[0]==';' && s[1]=='_' && s[2]==';';
 }
  result=0;
//subproblems
  genrate all valid emocticon and remove it from s let it be w
  result+=countDivision(w);
  return result;
}

当n很大（例如100）时，上述解决方案很容易超时。我应该使用哪种方法将这种强力解决方案转换为动态编程解决方案？

几个例子

 1. ";_;;_____;" ans is 2
 2. ";;;___;;;" ans is 36

Example 1.

 ";_;;_____;" Returns: 2 
 There are two ways to divide this string into two emoticons. 
 One looks as follows:  ;_;|;_____; and the other looks like
 this(rembember we can pick subsequence it need not be contigous):  ;_ ;|; _____;

Answer 1

我将描述一个O（n ^ 4）时间和空间动态编程解决方案（可以很容易地改进以仅使用O（n ^ 3）空间），该解决方案最多可以工作n = 100左右。

调用一个子序列＆＃34; fresh＆＃34;如果由一个;组成。

调用一个子序列＆＃34;完成＆＃34;如果它对应于表情符号。

调用子序列＆＃34; partial＆＃34;如果它具有非零长度并且是表情符号的正确前缀。（例如，;，;_和;___都是部分子序列，而空字符串_，;;和;___;;不是。）

最后，召集一个子序列＆＃34;可接受＆＃34;如果它是新鲜的，完成的或部分的。

设f（i，j，k，m）是将字符串的前i个字符分成正好j + k + m个可容许子序列的方式的数量，其中j是新鲜的，k是部分和m完了。请注意，有效分区的任何前缀表示为表情符号唯一地确定i，j，k和m - 这意味着有效分区的前缀不会被多个元组（i，j，k，m）计数，因此，我们可以保证，对于每个元组（i，j，k，m），中的分区前缀该元组都被计算一次且只有一次，那么我们可以将元组的计数加在一起得到有效总数。具体来说，问题的答案将是f（n，0，j，0）的所有1＆lt; = j＆lt; = n的总和。

If s[i] = "_": f(i, j, k, m) = (j+1) * f(i-1, j+1, k, m-1) // Convert any of the j+1 fresh subsequences to partial + m * f(i-1, j, k, m) // Add _ to any of the m partial subsequences Else if s[i] = ";": f(i, j, k, m) = f(i-1, j-1, k, m) // Start a fresh subsequence + (m+1) * f(i-1, j, k-1, m+1) // Finish any of the m+1 partial subsequences

我们还需要基本案例

f(0, 0, 0, 0) = 1 f(0, _, _, _) = 0 f(i, j, k, m) = 0 if any of i, j, k or m are negative

我自己的C ++实现在几毫秒内为;;;___;;;提供了36的正确答案，例如对于;;;___;;;_;_;，它给出了540的答案（也是在几毫秒内）。对于包含66 ; s后跟66 _ s后跟66 ; s的字符串，它只需不到2秒并报告答案为0（可能是由于{的溢出{1}}）。

Answer 2

这是一个相当简单的memoized递归，它立即为66 ; s后跟66 _ s后跟66 ; s返回一个答案。该函数有三个参数：i = index in the string，j = number of accumulating emoticons with only a left semi-colon和k = number of accumulating emoticons with a left semi-colon and one or more underscores。

还构造了一个数组，用于指示每个索引右侧有多少个下划线和分号，以帮助确定下一个可能性。

复杂性为O(n^3)，问题会限制搜索空间，其中j最多为n/2，k最多为n/4。

评论的JavaScript代码：

var s = ';_;;__;_;;';

// record the number of semi-colons and 
// underscores to the right of each index
var cs = new Array(s.length);
cs.push(0);

var us = new Array(s.length);
us.push(0);

for (var i=s.length-1; i>=0; i--){
  if (s[i] == ';'){
    cs[i] = cs[i+1] + 1;
    us[i] = us[i+1];
    
  } else {
    us[i] = us[i+1] + 1;
    cs[i] = cs[i+1];
  }
}

// memoize
var h = {};

function f(i,j,k){
  // memoization
  var key = [i,j,k].join(',');

  if (h[key] !== undefined){
    return h[key];
  }

  // base case
  if (i == s.length){
    return 1;
  }

  var a = 0,
      b = 0;
  
  if (s[i] == ';'){
    // if there are still enough colons to start an emoticon
    if (cs[i] > j + k){  
      // start a new emoticon
      a = f(i+1,j+1,k);
    }
      
    // close any of k partial emoticons
    if (k > 0){
      b = k * f(i+1,j,k-1);
    }
  } 
  
  if (s[i] == '_'){
    // if there are still extra underscores
    if (j < us[i] && k > 0){
      // apply them to partial emoticons
      a = k * f(i+1,j,k);
    }
    
    // convert started emoticons to partial
    if (j > 0){
      b = j * f(i+1,j-1,k+1);
    }
  }
  
  return h[key] = a + b;
}

console.log(f(0,0,0)); // 52

动态编程减少蛮力

2 个答案: