使用numpy进行FFT规范化

Question

刚开始使用numpy软件包，并通过简单的任务启动它来计算输入信号的FFT。这是代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Some constants
L = 128
p = 2
X = 20
x = np.arange(-X/2,X/2,X/L)
fft_x = np.linspace(0,128,128, True)

fwhl = 1

fwhl_y = (2/fwhl) \
*(np.log([2])/np.pi)**0.5*np.e**(-(4*np.log([2]) \
*x**2)/fwhl**2)

fft_fwhl = np.fft.fft(fwhl_y, norm='ortho')

ampl_fft_fwhl = np.abs(fft_fwhl)

plt.bar(fft_x, ampl_fft_fwhl, width=.7, color='b')

plt.show()

由于我使用指数函数，其前面有一些常数除以pi，我希望得到傅立叶空间中的指数函数，其中FFT的常数部分总是等于1（零频率）。 但是我使用numpy的那个组件的价值更大（它约为1,13）。在这里，我有一个幅度谱，由1 /（number_of_counts）** 0.5标准化（这是我在numpy文档中读到的）。我无法理解错误的原因......任何人都可以帮助我吗？

谢谢！

[编辑]看起来问题已经解决了，你需要得到傅立叶积分和FFT的相同结果就是将FFT乘以步长（在我的情况下是它的X / L）。至于规范化作为numpy.fft.fft（...，norm =＆＃39; ortho＆＃39;）的选项，它仅用于保存变换的比例，否则你将会需要将逆FFT的结果除以样本数。谢谢大家的帮助！

Answer 1

我终于解决了我的问题。将FFT与傅里叶积分结合起来所需要的只是将变换结果（FFT）乘以步长（在我的情况下为X / L，FFT X / L），它通常可以工作。在我的情况下，它有点复杂，因为我有一个额外的规则来转换函数。我必须确定曲线下面积等于1，因为它是δ函数的模型，所以由于步长是不可改变的，我必须满足步和（fwhl_y）= 1条件，即X / L = 1 /总和（fwhl_y）。因此，要获得正确的结果，我必须做出以下事情：

1. 计算FFT fft_fwhl = np.fft.fft（fwhl_y）
2. 去除由于fwhl_y函数的对称性而产生的相位分量，即在 [ - T / 2，T / 2] 区间中定义的函数，其中T是周期和np .fft.fft操作认为我的函数是在 [0，T] 区间中定义的。所以只获取幅度谱（这就是我需要的）我只需使用 np.abs（FFT）
3. 得到我期望的值我应该将前一步得到的结果乘以X / L，即 np.abs（FFT）* X / L
4. 我在曲线下方的区域有一个额外的条件，所以它是 X / L * sum（fwhl_y）= 1 ，我终于来到 np.abs（FFT）* X / L = np.abs（FFT）/ sum（fwhl_y）

希望它至少对任何人都有帮助。

Answer 2

以下是您问题的可能解决方案：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import fft
from numpy import log, pi, e

# Signal setup
Fs = 150
Ts = 1.0 / Fs
t = np.arange(0, 1, Ts)
ff = 50
fwhl = 1
y = (2 / fwhl) * (log([2]) / pi)**0.5 * e**(-(4 * log([2]) * t**2) / fwhl**2)

# Plot original signal
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, y, 'k-')
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('amplitude')

# Normalized FFT
plt.subplot(2, 1, 2)
n = len(y)
k = np.arange(n)
T = n / Fs
frq = k / T
freq = frq[range(n / 2)]

Y = np.fft.fft(y) / n
Y = Y[range(n / 2)]

plt.plot(freq, abs(Y), 'r-')
plt.xlabel('freq (Hz)')
plt.ylabel('|Y(freq)|')

plt.show()

使用fwhl = 1：

fwhl = 0.1：

您可以在上面的图表中看到指数和指数如何当fwhl接近0时，FFT图变化