在ACM的通讯中，August 2008 "Puzzled" column，Peter Winkler提出以下问题：
在我们面前的桌子上是10个点， 在我们的口袋里是10美元1硬币。 证明硬币可以放在上面 这样的表（没有两个重叠） 所有点都被覆盖的方式。数字 图2示出了硬币的有效放置 对于这个特殊的点集;他们 是透明的，所以我们可以看到它们。 底部的三个硬币不是 需要的。
在following issue中，他提出了证据：
我们必须表明任何10个点 表可以涵盖 一个问题，不重叠的1美元硬币 由Naoki Inaba设计并发送给我 由他的朋友Hirokazu Iwasawa两人共同完成 日本的拼图专家。
关键是要注意包装磁盘 布置在蜂窝状图案的封面 超过90％的飞机。但是如何做到 我们知道他们吗？半径为1的磁盘 适合组成正六边形 六个等边三角形的 高度一。由于每个这样的三角形 有六角形区域
sqrt(3)/3区域2*sqrt(3);自从 六边形将平面平铺在蜂窝中 模式，磁盘，每个都有区域π， 封面π /(2*sqrt(3))〜.9069 飞机的表面。如果磁盘是这样的话 随机放在飞机上， 任何特定点的概率 涵盖的是.9069。因此，如果我们 随机放置1美元硬币 （借来的）桌子上的六边形 模式，平均而言，我们10的9.069 积分将被涵盖，意思是 至少有些时候所有10个都会 覆盖。 （我们最多只需要10个 硬币所以给其余部分。）
磁盘覆盖的含义是什么 无限平面的90.69％？最简单的回答是说， 或许，那个百分比 磁盘覆盖的大方块 将此值作为平方 扩展。什么是“随机”的 放置磁盘？一种方法 认为通过是修复任何包装 和其中的任何磁盘，然后选择一个 从中随机均匀地指出 包含磁盘的蜂窝六边形 并移动磁盘，使其中心位于 选择的点。
我不明白。这种证明的概率性质不仅仅意味着在多数配置中，所有10个点都可以被覆盖。我们还不能提出一个涉及10个（或更少）点的配置，其中一个点不能被覆盖吗？
答案 0 :(得分：5)
我认为我可以重新安排温克勒的论点，使其更具说服力。
你在桌子上给出了一个点的排列。你还有一个由硬币粘在一起的硬币制成的大模板。您现在进行蒙特卡罗模拟，在随机位置（但始终具有相同方向）将蜂窝重复地抛在桌子上，并计算覆盖点的数量。如果你得到足够的样本，你最终会发现预期的平均点数是每投掷9.069。
关键的洞察力是，如果平均值是9.069，则必须有一个投掷，其中包含10个点。因为如果你从未覆盖10个点，平均值将是9或更低。
所以现在你知道至少有一个投掷覆盖了10个点。您复制该投掷，并删除所有未覆盖点的硬币。剩下10个或更少的硬币。
一个小小的题外话：对于一些巧妙的点排列，覆盖点的长距离平均值是否可能不是9.069？答案是否定的，因为每个点都可以单独考虑。换句话说，在10000个蜂窝的投掷中，每个点的预期数量将被覆盖9069次。所以我们预计总共会有90690个点，平均每次投注9.069个。