Question

我的微积分老师给了我们一个程序，用梯形法则计算给定区间的确定积分。我知道编程函数接受输入并产生输出作为算术函数但我不知道如何进行逆操作：找到给定输出的输入。

问题是：

“使用具有不同数量n的增量的梯形规则来估计从t = 0到t = 9的行进距离。找到一个数字D，其梯形和在此限制的0.01单位内（468） n> D。“

我通过计算器“插头和突突”估计了极限，我知道使用常规代数函数，我可以很容易地做到：

limit（468）=变量x的代数表达式（然后解决x）

但是，如何为编程功能执行此操作？ 如何在给定输出的情况下确定编程函数的输入？

我正在计算多项式的定积分，（x ^ 2 + 11x + 28）/（x + 4），在0到9之间。我的计算器中的梯形规则函数计算间隔之间的定积分0和9使用给定数量的梯形，n。

总的来说，我想知道如何做到这一点：

解决n： 468 = trapezoidal_rule（a = 0，b = 9，n）;

TI-83上的trapezoidal_rule（a，b，n）代码：

Prompt A
Prompt B
Prompt N
(B-A)/N->D
0->S
A->X
Y1/2->S
For(K,1,N-1,1)
X+D->X
Y1+S->S
End
B->X
Y1/2+S->S
SD->I
Disp "INTEGRAL"
Disp I

因为我不熟悉这种语法，也不熟悉计算机算法，所以我希望有人可以帮助我将这段代码转化为代数方程式，或指出我这样做的方向。

编辑：这不是我作业的一部分 - 仅仅是知识分子的好奇心

Answer 1

多项式，（x ^ 2 + 11x + 28）/（x + 4）

这等于x + 7。梯形规则应该为此函数提供完全正确的结果！我猜这实际上并不是你正在使用的功能......

在给定函数输出的情况下，没有通用的方法来确定它的输入是什么。（首先，许多函数可以将多个不同的输入映射到同一输出。）

因此，当您将具有给定步数的梯形规则应用于给定函数时，存在一个错误公式，您可以在此处使用它来计算出您需要的n的值...但是（1 ）它并不是非常漂亮，而且（2）当你刚刚开始研究梯形规则时，期望你做的事似乎不是一件非常合理的事情。我猜你的老师实际上只是想让你“堵塞”。

我不知道（见上文）你实际上正在整合什么功能，但让我们假装它只是x ^ 2 + 11x + 28。我将这个称为f（x）。从0到9的积分实际上是940.5。假设您将区间[0,9]分成n个部分。然后梯形法则给出：[f（0）/ 2 + f（1 * 9 / n）+ f（2 * 9 / n）+ ... + f（（n-1）* 9 / n）+ f（9）/ 2] * 9 / n。

让我们把它分成x ^ 2，11x和28的贡献。事实证明，梯形近似给出了后两者的正确结果。（练习：找出原因。）因此，从梯形规则得到的误差与你从f（x）= x ^ 2得到的误差完全相同。

x ^ 2从0到9的实际积分是（9 ^ 3-0 ^ 3）/ 3 = 243.梯形近似是[0/2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + （n-1）^ 2 + n ^ 2/2] *（9 / n）^ 2 *（9 / n）。（练习：找出原因。）有一个连续方格和的标准公式：1 ^ 2 + ... + n ^ 2 = n（n + 1/2）（n + 1）/ 3。因此，我们对x ^ 2积分的梯形近似是（9 / n）^ 3倍[（n-1）（n-1/2）n / 3 + n ^ 2/2] =（9 / n）^ 3次[n ^ 3/3 + 1/6] = 243 +（9 / n）^ 3/6。

换句话说，这种情况下的错误恰好是（9 / n）^ 3/6 =（243/2）/ n ^ 3.

因此，例如，当（243/2）/ n ^ 3 <1时，误差将小于0.01。 0.01，与n ^ 3> 1相同。 100 * 243/2 = 12150，当n> = 23时为真。

[编辑补充说：我没有仔细检查过我的代数或算术;可能存在小错误。我认为你感兴趣的是想法而不是具体的数字。]

在给定输出的情况下确定函数的输入（涉及微积分）

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