条件

Question

在我的理论中，我有一些更大的定义，我从中使用引理得出一些简单的属性。

我的问题是，简化器不使用派生属性的引理，我必须手动实例化它们。有没有办法让这更自动化？

最小的例子如下所示：

definition complexFact :: "int ⇒ int ⇒ int ⇒ bool" where
"complexFact x y z ≡ x = y + z"

lemma useComplexFact: "complexFact x y z ⟹ x = y + z"
by (simp add: complexFact_def)

lemma example_1:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a = b + c"
apply (simp add: cf useComplexFact) (* easy, works *)
done

lemma example_2a:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a - b = c"
apply (simp add: cf useComplexFact) (* does not work *)
oops

lemma example_2b:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a - b = c"
apply (simp add: useComplexFact[OF cf]) (* works *)
done

lemma example_2c:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a - b = c"
apply (subst useComplexFact) (* manually it also works*)
apply (subst cf)
apply simp+
done

我在参考手册中找到了以下段落，所以我想我可以用自定义求解器解决我的问题。 但是，我从未真正触及Isabelle的内部ML部分，也不知道从哪里开始。

  

重写不会实例化未知数。例如，单独重写   不能证明a∈？A因为这需要实例化？A。该   然而，求解器是一种任意的策略，可以实例化未知数   随心所欲。这是Simplifier可以处理的唯一方法   条件重写规则，其条件包含额外的变量。

Answer 1

Isabelle简化器本身从不在条件重写规则的假设中实例化未知数。但是，解算器可以做到这一点，最可靠的是assumption。因此，如果complex_fact a b c字面上出现在目标的假设中（而不是添加到带有simp add:或[simp]的simpset），则假设求解器会启动并实例化未知数。但是，它只会在假设中使用complex_fact的第一个实例。因此，如果有几个，它将不会尝试所有这些。总之，最好写

lemma
  assumes cf: "complexFact a b c"
  shows "a = b + c"
  using cf
  apply(simp add: useComplexFact)

您的示例的第二个问题是a = b + c a，b和c是免费的，这不是一个好的重写规则，因为头上的符号是左侧不是常数，而是自由变量a。因此，简化器不会使用等式a = b + c将a替换为b + c，而是用a = b + c替换等式True的字面值。您可以在simplifer的跟踪中看到此预处理（使用using [[simp_trace]]在本地启用它）。这就是为什么example_1有效而其他人无效的原因。如果您可以更改左侧，使得头部符号有一个常量，那么无需编写自定义求解器就可以实现一些不错的证明自动化。

此外，您可以使用useComplexFact作为销毁规则来执行某种（有限）形式的前向推理。也就是说，

using assms
apply(auto dest!: useComplexFact)

在某些情况下也可以使用。但是，这非常接近于在可伸缩性方面展开定义。