Question

你将如何解决背包的这种变化？

你有n个对象（x1，... xn），每个对象有成本ci和值vi（1＆lt; = i＆lt; = n）和一个附加约束X，它是所选项目值的下限。查找x1，...，xn的子集，最大限度地降低值至少为X的项目的成本。

我试图通过动态编程来解决这个问题，我想到的是修改用于K [n，c，X]的常用表格，其中X将是我需要达到的最小值，但这似乎是把我带到一边。有什么好主意吗？

Answer 1

提出了一种方法，将其归结为最初的背包问题。

首先，假设您已包含解决方案中的所有项目。您的成本是Cost_Max，实现的值是Val_Max（对于存在的解决方案，应该>> X.）

现在，回想一下原始的背包问题：给定一组具有权重W（i）和值V（i）的项目，找到权重限制的最大可实现值= w。

现在，我们将使用此背包问题找到要包含在我们的答案集中的所有不项

因此，在计算问题中的Cost_Max和Val_Max后，您必须处理：

成本（ci＆＃39; s）为值（即V（i）＆＃39; s）
值（vi＆＃39; s）作为权重（即W（i）＆＃39; s）
（Val_Max - X）作为重量限制w

这将为您提供在价值保持＆gt; = X时可以移除的最高费用。

因此，如果从上面的步骤中找到的成本是Cost_Knapsack，那么您的答案是Cost_Max - Cost_Knapsack。

Answer 2

这可以像我们做背包问题一样，在每个索引处我们尝试在背包内放入一个值或者没有，这里背包没有大小限制因此我们可以放任何元素在背包内。

然后我们只需要考虑那些满足size of the knapsack >= X。

条件的解决方案

背包的状态是DP[i][j]，其中i是元素的索引，j是当前背包的大小，注意我们只需要考虑那些有背包的解决方案j >= X。

下面是c ++中的递归动态编程解决方案：

#include <iostream>
#include <cstring>
#define INF 1000000000


using namespace std;

int cost[1000], value[1000], n, X, dp[1000][1000];

int solve(int idx, int val){
    if(idx == n){
        //this is the base case of the recursion, i.e when
        //the value is >= X then only we consider the solution
        //else we reject the solution and pass Infinity
        if(val >= X) return 0;
        else return INF;
    }
    //this is the step where we return the solution if we have calculated it previously
    //when dp[idx][val] == -1, that means that the solution has not been calculated before
    //and we need to calculate it now
    if(dp[idx][val] != -1) return dp[idx][val];

    //this is the step where we do not pick the current element in the knapsack
    int v1 = solve(idx+1, val);

    //this is the step where we add the current element in the knapsack
    int v2 = solve(idx+1, val + value[idx]) + cost[idx];

    //here we are taking the minimum of the above two choices that we made and trying
    //to find the better one, i.e the one which is the minimum
    int ans = min(v1, v2);

    //here we are setting the answer, so that if we find this state again, then we do not calculate
    //it again rather use this solution that we calculated
    dp[idx][val] = ans;

    return dp[idx][val];
}

int main(){
    cin >> n >> X;
    for(int i = 0;i < n;i++){
        cin >> cost[i] >> value[i];
    }

    //here we are initializing our dp table to -1, i.e no state has been calculated currently
    memset(dp, -1, sizeof dp);

    int ans = solve(0, 0);

    //if the answer is Infinity then the solution is not possible
    if(ans != INF)cout << solve(0, 0) << endl;
    else cout << "IMPOSSIBLE" << endl;

    return 0;
}

链接到ideone上的解决方案：http://ideone.com/7ZCW8z

带背包＆＃34;至少X值＆＃34;约束

2 个答案: