Question

我想计算一个数字是否是一个完美的数字（总和（适当的除数）==数字）。因此，我所要做的就是得到适当的除数，将它们加起来并查看它是否为数字。为此我使用for循环：

cin >> number;
sum = 1;
for (int i = number/2; i > 1; --i) {
  if (number % i == 0) {
    sum = sum + i;
  }
  if (sum > number) {break;}
}
if (sum == number) {cout << "perfect!" << endl;}

这个循环太慢了。我已经做过的就像你可以看到的那样，如果总和已经大于数字，就会突破循环，我从更高的数字开始（所以如果总和更大，它会更快到达），并且因为1总是一个适当的除数，我不需要循环它。

现在我有点想法，并且非常感谢有关如何进一步改进这种循环的一些提示（甚至是完全不同的方法？）

Answer 1

您可以通过以下方式获得非常大的改进：

cin >> number;
sum = 1;
for (int i = sqrt(number); i > 1; --i) {
  if (number % i == 0) {
    sum += i + (number / i);
  }
  if (sum > number) {break;}
}
if (sum == number) {cout << "perfect!" << endl;}

如您所见，此循环从输入的平方根开始，而不是输入的一半。这在最坏的情况下给出O（sqrt（N））改进。对于任何一对数的除数，一个必须位于平方根之上，一个最大位于下方。另一个需要注意的重要事项是整数除法/模数非常昂贵，但计算它们时，两者都是同时计算的。这意味着，一旦计算出number % i，number / i基本上是免费的。因此，我的代码中每次迭代的成本基本上与您的迭代成本相同，但迭代次数要少得多。

如果你这样做，你可能还想考虑计数而不是减少，如果你的目标是提前退出，那么一般来说你会更好地从小数字开始，因为更多极值除数的总和（一个非常高），一个非常低）更大。数量越小，除数密度越高。

请注意，我的代码并不完全正确，需要考虑一些边缘情况，完美的正方形就是一个例子。

Answer 2

如果你真的想缩短这个循环的时间并测试大数字，首先你可以尝试Miller-Rabin test来消除素数。然后使用Fermat factorisation method查找数字的除数。

如果您测试小数字，您应该从1开始迭代并仅测试数字，直到数字的平方根（reference）。

Answer 3

您可以实施一些简单的优化：

仅检查素数。通过简单的sieve，您可以快速，高效地找到它们。您也可以找到它们并保存在文件中。 UPD：请注意，在此类实施中很容易引入错误。一种可能的正确方法是找到所有除数，将它们保存在数组中，然后迭代所有可能的组合来计算实际总和。它可以递归完成。
从2开始，然后转到数字的平方根，如果找到了除数，请sum += i + number/i。自然顺序而不是反向通常会更快，因为它会立即找到小的除数，这会显着增加总和。

如果你要为非常大的数字解决这个问题，你就不能很快地做到这一点，因为它是Integer factorization问题的一个例子，已知这个问题很难有效地解决（即，没有人知道多项式算法）。因此，没有办法使这个循环比提议的实现更快（渐近）。

但另一方面，整数分解是一个古老且非常重要的问题，因此有些库可以通过高级启发式和汇编级优化来快速解决它。

Answer 4

有一些方法可以优化它。

循环sqrt（N）次，而不是N / 2次。（O（SQRT（N））
使用预生成的数组。（O（0）？）
使用thread s的神奇力量。（视乎）
用筛子消除素数。（O（N）~O（N ^ 2））

更快地循环

4 个答案: