Question

Coq 让我来定义：

Definition teenagers : Set := { x : nat | x >= 13 /\ x <= 19 }.

还有：

Variable Julia:teenagers.

但不是：

Example minus_20 : forall x:teenagers, x<20.

或：

Example Julia_fact1 : Julia > 12.

这是因为Julia（类型青少年）无法与12（ nat ）进行比较。

问：我应该如何告知Coq Julia的支持类型是 nat ，这样我才能写出有关她的任何有用信息？

Q'：我对青少年的定义似乎是死路一条;它更具说明性而非建设性，我似乎失去了 nat 的归纳属性。我怎样才能出现其居民？如果没有办法，我仍然可以坚持 nat 并使用 Prop 和函数。（新手在这里，用Pierce's SF进行不到一周的自学习。）

Answer 1

您在teenagers中使用的模式是＆＃34; subType＆＃34;的实例。图案。如您所知，{ x : nat | P x }与nat不同。目前，Coq几乎没有提供有效处理这类类型的支持，但是如果你限制为＆＃34;表现良好＆＃34;类P，您实际上可以以合理的方式工作。 [这应该真的成为一个Coq FAQ BTW]

从长远来看，您可能希望对此模式使用特殊支持。 math-comp库subType接口提供了这种支持的一个很好的例子。

描述此界面超出了您的原始问题，因此我将以一些评论结束：

在minus_20示例中，您希望使用青少年数据类型的第一个投影。试试forall x : teenagers, proj1_sig x < 20。如果您将投影声明为Coercion：

，Coq可以尝试自动插入此类投影

Require Import Omega.

Definition teenagers : Set :=
  { x : nat | x >= 13 /\ x <= 19 }.

Coercion teen_to_nat := fun x : teenagers => proj1_sig x.

Implicit Type t : teenagers.

Lemma u t : t < 20.
Proof. now destruct t; simpl; omega. Qed.

正如您所正确观察到的，{ x : T | P x }在Coq中与x不同。原则上，您不能将类型为T的对象的推理转移到类型为{ x : T | P x }的对象，因为您还必须另外推理类型为P x的对象。但对于广泛的P类，您可以证明teen_to_nat投影是单射的，即：
```
forall t1 t2, teen_to_nat t1 = teen_to_nat t2 -> t1 = t2.
```
然后，可以将对基本类型的推理转移到子类型。另见：Inductive subset of an inductive set in Coq

[edit]：我在math-comp中添加了几个典型的子类型示例，因为我认为它们很好地说明了这个概念：

大小列表或n.-tuples。长度为n的列表在math-comp中表示为一对列表加上大小证明，即n.-tuple T = { s : seq T | size s == n}。感谢injectivity和coertions，你可以使用所有常规列表函数而不是元组，它们工作正常。
有界自然或序数：类似地，类型'I_n = { x : nat | x < n }的工作方式几乎与自然数相同，但有一个界限。

处理（{x：nat |。）形式（子）类型的最佳方法x> = 13 / \ x＆lt; = 19}`？

1 个答案: