Question

我知道如何计算给定n和k的binomial coefficient（我使用了一个库）。现在假设您将所有这些组合存储在数组中。每个组合都有一个索引。我实际上并不需要将它们存储在一个数组中，但我需要知道，如果我要存储它们，那么每个组合的数组索引是什么。

E.g。给定一组C（n，k）可能组合的元素，我需要一个函数，它给出了它在数组中的索引i，但实际上并没有创建整个数组。编程语言并不重要，虽然我需要在java中实现该函数，但任何（伪）语言算法都可以，我会将它翻译成java。

例如，在n = 5且k = 2的情况下，我凭经验将此函数f(n, k, [a,b]) => N定义为：

f(5, 2, [1,2]) = 0
f(5, 2, [1,3]) = 1
f(5, 2, [1,4]) = 2
f(5, 2, [1,5]) = 3
f(5, 2, [2,3]) = 4
f(5, 2, [2,4]) = 5
f(5, 2, [2,5]) = 6
f(5, 2, [3,4]) = 7
f(5, 2, [3,5]) = 8
f(5, 2, [4,5]) = 9

意味着（3,5）组合将占据数组中的索引8。另一个n = 5和k = 3的例子是f(n, k, [a,b,c]) => N，根据经验定义为

f(5, 3, [1,2,3]) = 0
f(5, 3, [1,2,4]) = 1
f(5, 3, [1,2,5]) = 2
f(5, 3, [1,3,4]) = 3
f(5, 3, [1,3,5]) = 4
f(5, 3, [1,4,5]) = 5
f(5, 3, [2,3,4]) = 6
f(5, 3, [2,3,5]) = 7
f(5, 3, [2,4,5]) = 8
f(5, 3, [3,4,5]) = 9

评论后编辑澄清：

在上面的例子中，[1,2,3]，[2,4,5]等是C（n，k）集的元素之一，例如， n个可能数字中k个数的可能组合之一。该函数需要它们才能在数组中计算它们的索引。

但是我需要为n和k的通用值编写此函数，而不创建数组。也许这种功能已经存在于某些组合微积分库中，但我甚至都不知道如何调用它。

Answer 1

您应该查看combinatorial number system，部分＆＃34;组合中的位置＆＃34;特别是。

甚至还有一个例子，它可以帮到你：National Lottery example in Excel。（对不起，但我不能在这里打字。）

在你的情况下，这将是

f(5, 3, [2,3,4]) = binom(5,3) - 1 - binom(5-2,3) - binom(5-3,2) - binom(5-4,1) =
                 = 10 - 1 - 1 - 1 - 1 = 6

或者如果您接受颠倒的顺序，则可以省略binom(5,3) - 1部分并计算

f'(5, 3, [2,3,4]) = binom(5-2,3) + binom(5-3,2) + binom(5-4,1) - 1 =
                  = 1 + 1 + 1 - 1 = 2

（这应该可以节省一些时间，因为这里不需要binom(5, 3)。）

在Java中，方法可以是

int f(int n, int k, int[] vars) {
    int res = binom(n, k) - 1;

    for(int i = 0; i < k; i++) {
        res -= binom(n - vars[i], k - i);
    }

    return res;
}

或

int fPrime(int n, int k, int[] vars) {
    int res = -1;

    for(int i = 0; i < k; i++) {
        res += binom(n - vars[i], k - i);
    }

    return res;
}

为int binom(int n, int k)假设方法binom(n, k) = 0和n < k。

数组

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