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Question

我想计算一个k行和2 ^ k列的矩阵（S），以满足以下两个条件：

1) all of whose elements are either 1 or -1 ,
2) each column of S is a vector of dimension k and columns are distinct.

如何使用R？感谢。

Answer 1

您可以使用expand.grid，它会创建输入向量的所有组合：

k <- 3
t(expand.grid(rep(list(c(1,-1)), k)))
#     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
#Var1    1   -1    1   -1    1   -1    1   -1
#Var2    1    1   -1   -1    1    1   -1   -1
#Var3    1    1    1    1   -1   -1   -1   -1

Answer 2

这是我的解决方案（递归）：

from itertools import product

lst = [['alpha'],['beta','gamma'],['delta','peta','lambda']]

for res in product(*lst):
    print(res)

>> ('alpha', 'beta', 'delta')

('alpha', 'beta', 'peta')
('alpha', 'beta', 'lambda')
('alpha', 'gamma', 'delta')
('alpha', 'gamma', 'peta')
('alpha', 'gamma', 'lambda')

由于递归，这种解决方案效率低下（但递归非常好。）

Mk <- function(k) {
  if (k==1) return(matrix(c(1,-1), 1, 2))
  cbind(rbind(1, Mk(k-1)), rbind(-1, Mk(k-1)))
}
Mk(3)
#> Mk(3)
#     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
#[1,]    1    1    1    1   -1   -1   -1   -1
#[2,]    1    1   -1   -1    1    1   -1   -1
#[3,]    1   -1    1   -1    1   -1    1   -1

但：

library(microbenchmark)
k <- 3

Mk <- function(k) {
  if (k==1) return(matrix(c(1,-1), 1, 2))
  cbind(rbind(1, Mk(k-1)), rbind(-1, Mk(k-1)))
}

microbenchmark(
  expa=t(expand.grid(rep(list(c(1,-1)), k))),
  recu=Mk(k)
)
#Unit: microseconds
# expr     min      lq      mean  median      uq     max neval
# expa 271.977 288.359 317.30903 294.872 326.254 871.983   100
# recu  41.449  45.001  53.24341  48.949  58.422 140.134   100

Answer 3

当只有2种可能的结果时，我会想到比特。

OneOrMinusOne <- function(x, dig) {
    i <- 0L
    string <- numeric(dig)-1L
    while (x > 0) {
        string[dig - i] <- ifelse(x%%2L==0L,-1L,1L)
        x <- x %/% 2L
        i <- i + 1L
    }
    string
}

sapply(0:(2^3 - 1), function(x) OneOrMinusOne(x,3))
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,]   -1   -1   -1   -1    1    1    1    1
[2,]   -1   -1    1    1   -1   -1    1    1
[3,]   -1    1   -1    1   -1    1   -1    1

虽然这很自然，但它并不像Roland上面那样使用expand.grid那么有效。

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这个问题非常有趣，因为您可以考虑多少种方法。我已经提到了从0到（2 ⁿ - 1）的数字的二进制表示的连接，但是，还有更多。

<强> 1。几何（获得图像here）当k = 3恰好是以原点为中心的立方体顶点的坐标时，OP正在寻找的答案。对于较大的k，答案是相似的（即答案将是kth维hypercube的顶点坐标。在数学上，这可以通过具有半径sqrt(k)的超球面和具有长度= 2的边的超立方体的交点来描述，两者都以原点为中心。对于k = 3，这将转化为以下等式：

x ² + y ² + z ² = 3 其中（x，y，z）是积分值（即1或-1）

<强> 2。抽象代数

我们可以将解决方案视为isomorphic到{2}整数模2 ^{k + 1}。您可能想知道为什么k+1。好吧，恰好Multiplicative group给了我们这些类型的组的顺序，因此我们有：

phi（2 ^{k + 1}）= 2 ^{k + 1} *（1 - 1/2）= 2 ^k

每个元素都是它自己的反转元素，元素rep(1, k)作为标识，并在乘法时关闭（元素乘法（例如（1，-1,1）*（ - 1，-1），1）=（-1,1,1）））。

如果你真的想对群论理解，可以将解决方案集更全面地描述为Euler's totient function。这实际上可能有效地生成解决方案，因为您实际上只需要几个向量来完整地描述解决方案集。例如，对于k = 3，仅从3个向量开始，我们可以生成整个解集。

myL <- list(c(-1,-1,1),c(-1,1,-1),c(-1,1,1))  ## generating set
myL[[4]] <- myL[[1]]*myL[[2]]
myL[[5]] <- myL[[1]]*myL[[3]]
myL[[6]] <- myL[[1]]*myL[[2]]*myL[[3]]
myL[[7]] <- myL[[2]]*myL[[3]]
myL[[8]] <- myL[[1]]^2
do.call(cbind, myL)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,]   -1   -1   -1    1    1   -1    1    1
[2,]   -1    1    1   -1   -1   -1    1    1
[3,]    1   -1    1   -1    1   -1   -1    1

我没有证明这一点，但是对于我尝试过的每个例子，任何k的一般解决方案似乎完全由k个不同的向量集合描述（（-1， 1，... 1），（1，-1,1，...，1），（1,1，-1,1，...，1），...，（1，... ，1，-1））。

无论如何，这很有趣。

生成具有元素1和-1的维k的不同向量

3 个答案:

但：

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