使用Python

Question

我正在寻找一种有效的方法来查找区间[a，b]上函数f的所有根。 我遇到的问题是来自scipy.optimize的所有好方法要求f（a）和f（b）有不同的符号，或者我提供初始猜测x0，但在运行代码之前我对我的根一无所知

注意：函数f是平滑的（至少是C1），并且没有病态行为[没有像sin（1 / x）]。然而，它需要构建矩阵A（x）并找到其特征值，因此是耗时的。预计在[a，b]上有0到10个根，其位置完全是任意的。我不能错过任何一个（例如我不能接受100个初始猜测x0，只希望我能抓住所有根源）。

我正在考虑实施这样的事情：

1. 使用scipy.optimize查找f的所有极值{m_1，m_2 ..，m_k} [也许是fmin，但我不知道哪种方法效率最高]：
   • 从点a [渐变算法的初始猜测]
   开始搜索最小m_1
   • 从m_1 + dx点开始搜索最大m_2 [强制渐变算法前进]
   • 搜索至少m_3 ...
2. 如果两个连续的极值m_i和m_（i + 1）具有相反的符号，则在间隔[m_i，m_（i + 1）]上应用brentq以查找根。

• 有没有更好的方法来解决这个问题？

• 如果没有，fmin和brentq是scipy.optimize库中的最佳选择，以尽量减少对函数f的调用次数吗？

Answer 1

对此的一种“通常”方法是找到函数的近似值，根查找很容易，然后找到近似值的根。

例如，您可以在多个点处对函数值进行采样，使样条拟合点，然后找到样条曲线的根（这是一个简单的问题）。这将至少为根提供初步猜测。

更棘手的部分是确定采样点。如果您知道您的函数是C1，则可以根据函数值在函数显示为非平滑的点处更加密集地进行采样。几年前我需要这样做，所以这里有一种启发式烹饪方法来解决这个问题：https://gist.github.com/pv/acc71bafede0a84b074c7751985ecc6f为我工作，但YMMV。

Answer 2

取决于您的功能，但可以使用SymPy以符号方式解决。这将给所有的根源。如有必要，它可以象征性地找到特征值。

找到所有极值与找到函数导数的所有根相同，所以它不会比找到所有根更容易（正如WarrenWeckesser所提到的那样）。

以数字方式查找所有根将需要使用有关该函数的知识。举个简单的例子，假设您知道根之间的最小间距。您可以尝试以递归方式对区间进行分区，并在每个区间中找到根。找到最大根数后停止。但是如果间距很小，这可能需要许多功能评估（例如，在最坏的情况下，当根有零时）。您可以施加的约束越多，您就越能减少功能评估。