为什么排序算法正常工作？

Question

我有一个排序算法。我知道它可以用许多其他更简单的方式编写，但这不是我的问题。

这是算法：

sort(A : Array of N, i : N, j : N)
assert j-i+1 isTwoPotency
if A[i] > A[j] then swap A[i] and A[j]
if i+1 < j then
    k:= (j − i + 1)/4
    sort(A, i, j − 2k)
    sort(A, j − 2k + 1, j)
    sort(A, i + k, j − k)
    sort(A, i, j − 2k)
    sort(A, j − 2k + 1, j)
    sort(A, i + k, j − k)

我的问题是，为什么算法在以下情况下正常工作？

sort(A, 1, length(A))

，数组将是：

A[1 . . . length(A)]

长度（A）是两个效力，我们可以假设 数组内没有相同的数字。我已经测试过，没有错误，所以我认为它可以正常工作。但是，如何证明算法在这些条件下始终能正常工作？

我想知道算法需要多长时间作为运行时间。 如果你能把我的运行时间作为一个大的记号（那是我最了解的那个），那就太好了。

f（n）=Θ（g（n））

Answer 1

正确性

将数组分为四个四分之一，A1到A4，并考虑每个元素应该最终进入的子数组。

• 在前两次递归调用之后，属于A1的所有元素都位于A1或A3中。同样，所有A4元素都位于A2或A4中。

• 第三次递归调用后，所有A1元素都在A1或A2中，所有A4元素都在A3或A4中。

• 在接下来的两次递归调用之后，所有A1元素按排序顺序排在A1中，所有A4元素按排序顺序排列在A4中。这使得所有A2和A3元素都保留在A2或A3中。

• 在最后一次递归调用之后，所有A2和A3元素都按排序顺序位于正确的子数组中。因此，数组已排序。

插图：

运行

请注意，当我们对长度为n的数组执行算法时，我们必须在长度为n/2的数组上执行该算法六次。这会产生以下重现：

• T(1) = O(1)。
• T(n) = 6 T(n/2) + O(1)。

解决我们得到的重复T(n) = O(6^log2(n)) = O(n^log2(6)) ≈ O(n^2.585)