Question

是否有一种有效的算法可以找到总计 n 的所有 k 非负整数序列，同时避免旋转（完全，如果可能的话）？ 顺序很重要，但对于我正在处理的问题，轮换是多余的。

例如，如果 k = 3且 n = 3，我希望获得如下列表：

（3,0,0），（2,1,0），（2,0,1），（1,1,1）。

元组（0,3,0）不应该在列表中，因为它是（3,0,0）的旋转。但是，（0,3,0）可以在列表中而不是（3,0,0）。请注意，（2,1,0）和（2,0,1）都在列表中 - 我不想避免所有元组的排列，只需轮换。此外，0是一个有效的条目 - 我没有找到 n 的分区。

我当前的程序是从超过1＆lt; = i ＆lt; = n 循环，设置第一个条目等于 i ，然后递归地解决 n' = n - i 和 k' = k <的问题/ em> - 1.我通过强制要求没有条目严格大于第一个来获得一些加速，但是这种方法仍然会产生大量的旋转 - 例如，给定 n = 4并且 k = 3，（2,2,0）和（2,0,2）都在输出列表中。

编辑：添加粗体说明。我很抱歉没有像原来的帖子那样明确这些问题。

Answer 1

您可以先生成分区（完全忽略顺序）作为元组（x_1，x_2，...，x_n）

其中x_i =我出现的次数。

所以Sum i * x_i = n。

我相信你已经知道如何做到这一点（来自你的评论）。

一旦你有了分区，你现在可以为此生成排列（将其视为多重集{1,1，...，2,2 ......，...}}，其中我出现x_i次）使用这个问题的答案忽略了轮换：

Is there an algorithm to generate all unique circular permutations of a multiset?

希望有所帮助。

Answer 2

您可以对解决方案进行排序，并以此方式消除轮换 OR
你可以尝试使你的递归解决方案构建只会被排序的元组

如何？这是我快速编造的东西

static list<tuple> tups;
void recurse(tuple l, int n, int k, int m)
{
  if (k == 0 && n == 0)
  {
    tups.add(l);
    return;
  }
  if (k == 0)
    return;

  if (k*m > n) //prunes out tuples that could not possibly be sorted
    return;
  else
    for(int x = m; x <= n; x++)
      recurse(l.add(x), n-x, k-1, x); //try only tuples that are increasing
}

用m = 0和初始步骤的空列表调用它。

这是一个C＃控制台应用实现：http://freetexthost.com/b0i05jkb4e

哦，我在旋转假设中看到了我的错误，我认为你只是意味着排列，而不是实际的轮换。但是，您可以扩展我的解决方案以创建独特增加元组的非旋转排列。我现在正在努力

Answer 3

您需要按字典顺序生成Integer Partitions。

Here是一篇非常好的论文，具有快速算法。

HTH。

请注意，CAS programs通常会实现这些功能。例如，在Mathematica中：

Innput: IntegerPartitions[10, {3}]
Output: {{8, 1, 1}, {7, 2, 1}, {6, 3, 1}, 
         {6, 2, 2}, {5, 4, 1}, {5, 3, 2}, 
         {4, 4, 2}, {4, 3, 3}}

列出所有k元组，条目总和为n，忽略旋转

3 个答案: