Question

我有一个关于如何在目标函数中表达x1x2的问题。这是互联网上的一个例子。

##
## min x1^2 +2x2^2 + 4x3^2 - x1 - x2 + 5x3
## x1 + x3 <= 1
## x1 >= 5
## x2 <= 0
##

P = 2*diag (c (1, 2, 4));
d = c (-1, -1, 5);
A = matrix (0, nrow=3, ncol=3);
A[1,] = c(-1, 0, -1);
A[2,] = c( 1, 0, 0);
A[3,] = c( 0, -1, 0);
b = c(-1, 5, 0);

从示例中，目标结果为x1^2 +2x2^2 + 4x3^2 - x1 - x2 + 5x3

在R中，它是P = 2*diag (c (1, 2, 4)); d = c (-1, -1, 5);

但是，如果我有一个像x1x2或x1 ^ 2这样的目标函数如何键入R？

中的命令

提前多多感谢。

Answer 1

solve.QP函数最小化以下表达式：

min 1/2 * (t(x) %*% D %*% x) - t(d) %*% x

其中x是n变量的向量（例如x1，x2 ......），D n x n系数的对称矩阵和d向量{ {1}}系数。

为了理解这些矩阵产品如何转化为目标函数表达式，我创建了以下简单函数来扩展给定输入的quadprog目标：

通过用文字系数调用它，我们可以很容易地理解如何设置这些系数以获得我们想要的结果：

# Given matrix D and vector d that will be passed to solve.QP, 
# it returns the objective function expression as string
expandQPObj <- function(D, d, var.name = 'x') {
  # helper function that expands a matrix product. NB it does not compute the result, 
  # it just returns the expressions of each element of the resulting matrix
  expandMatrixProd <- function(m1, m2) {
    m1 <- as.matrix(m1)
    m2 <- as.matrix(m2)
    if (ncol(m1) != nrow(m2)) { stop("incompatible dimensions")  }
    n <- nrow(m1)
    m <- ncol(m2)
    res <- matrix('', nrow = n, ncol = m)
    for (i in 1:n) {
      for (j in 1:m) {
        a <- m1[i, ]
        b <- m2[, j]
        a <- ifelse(grepl('[+*]', a), paste0('(', a, ')'), a)
        b <- ifelse(grepl('[+*]', b), paste0('(', b, ')'), b)
        res[i, j] <- gsub('+-','-',paste(a, b, sep = '*', collapse = '+'),fixed = TRUE)
      }
    }
    return(res)
  }
  D <- as.matrix(D)
  d <- as.vector(d)
  n <- length(d)
  if (!all(dim(D) == n) || n == 0) {
    stop('Dimensions problem: D should be an nxn matrix and d a vector of length n (n>0)')
  }
  xvec <- paste(var.name, 1:n, sep = '')
  quadComp <- as.vector(Reduce(list(t(xvec), D, xvec),f=expandMatrixProd))
  linearComp <- as.vector(strMatrixMult(t(d), xvec))
  return(paste0('1/2*(', quadComp, ') - (', linearComp, ')'))
}

所以，为了得到：

Dliteral <- matrix(paste0('D',1:9),nrow=3,byrow = T)
#     [,1] [,2] [,3]
#[1,] "D1" "D2" "D3"
#[2,] "D4" "D5" "D6"
#[3,] "D7" "D8" "D9"

dliteral <- paste0('d',1:3)
#[1] "d1" "d2" "d3"

expandQPObj(Dliteral,dliteral)
#"1/2*((x1*D1+x2*D4+x3*D7)*x1+(x1*D2+x2*D5+x3*D8)*x2+(x1*D3+x2*D6+x3*D9)*x3) - d1*x1+d2*x2+d3*x3"

我们需要设置min x1*x2（不只是D2=1 and D4=1，因为矩阵D2=2必须是对称的！）而所有其他系数= 0，因此：

同样，要获得：

D = rbind(c(0,1,0),c(1,0,0),c(0,0,0))
#     [,1] [,2] [,3]
#[1,]    0    1    0
#[2,]    1    0    0
#[3,]    0    0    0
d <- rep(0,3)
#[1] 0 0 0

expandQPObj(D,d)
[1] "1/2*((x1*0+x2*1+x3*0)*x1+(x1*1+x2*0+x3*0)*x2+(x1*0+x2*0+x3*0)*x3) - 0*x1+0*x2+0*x3"

我们需要设置min x1^2 (== min x1*x1)，其他所有系数= 0：

D1=2

如何在R的quadprog中表达x1 * x2

1 个答案: