Question

我有一个带有数值的矩阵（最大尺寸为100 x 100），需要找到总计达到所需值的连接单元的最有效（最小单元格数）组。该矩阵也可以具有负单元（矩阵的内壁），该算法应该能够四处走动。在查找连接的单元时，我不需要考虑对角线单元（仅向上，向下，向左，向右）。

例如，我们有以下矩阵：

1 4 4

1 1 2

4 -1 1

如果我们正在寻找总结为：

的细胞集

9正确的结果是：4（0x2），4（0x1），1（0x0或1x1）
3正确的结果是：2（1x2），1（1x1或2x2）
5正确的结果是：4（0x1），1（0x0或1x1）

找到这些连接的单元格的最有效方法是什么，因为递归将在矩阵变得相对较大（如50x50）时非常慢？或者这些数据的矩阵表示不是此任务的最佳方式？

由于

Answer 1

NP-硬度

正如评论中sascha所建议的，这个问题是NP难的，因此不太可能存在有效的（多项式时间）解决方案。这是Subset Sum问题的减少，我们给出了一个目标值m和一个多个n个数字的集合，并询问是否有可能找到这些n个数的子数据总和为m：

以任意顺序创建一个矩阵行，其中包含子集总和问题的所有n个值。
在其下方创建第二个矩阵行，每个单元格中包含值0。
使用m作为目标值，在结果矩阵上解决问题。

现在任何解决方案都可以获取整个0行的值，然后在顶行中选择任何子集，因为它们都连接到第二行。因此，如果子集总和问题有解决方案，那么您的问题就有了相应的解决方案，反之亦然。

子集和是一个NP难问题，上面显示了一种解决任意子集和问题的方法，将其转化为问题的实例然后解决了这个问题，所以你的问题也必须是NP难的

如果只能选择正数

我在上面假设零值可以出现在矩阵中（并且可以被选中）。如果OTOH只能选择正数，则可以调整减少量：

设z比子集和问题的所有n个输入数的绝对值之和多一个。而不是单行0值，而是创建一行z值;而不是将m作为目标，取m + nz。显然，如果SS问题有解决方案，那么我们可以通过选择SS解决方案选择的顶行中的特定数字以及底行的z值的所有n个副本来解决我们的问题。。我现在表明另一个方向也是有效的：也就是说，如果我们可以在构造的问题实例中获得m + nz的目标，那么它必须在底行使用z值的所有n个副本，在顶行中留下总共m，对应于原始SS实例的解。

假设我们对构造的实例有一个解决方案，它击中了m + nz的目标。然后底行中的每个单元格必须是此解决方案的一部分，因为如果即使一个这样的单元格不是，那么即使我们包括，我们也无法达到nz的总和（更不用说可能更大的值m + nz） 顶行中的每个元素，因为（按设计）z＆gt; sum（顶行中的所有元素）。（我假设m在这里是正面的。）

Answer 2

为了尝试将递归次数减少到最小，我尝试使用此方法，该方法查找从短到长累加到目标的单元格序列，以便您首先找到最短的解决方案：

给定目标，例如10和矩阵，例如

[1, 0, 1, 2, 3]
[6, 1, 4, 0, 2]
[1, 2, 4,-2, 3]
[1,-1, 2, 3, 1]
[0, 2, 3, 0, 1]

计算矩阵中每个正值的出现次数：

1: 6, 2: 5, 3: 4, 4: 2, 5: 0, 6: 1

使用可用值查找目标的所有分区：

6,4  
6,3,1
6,2,2
6,2,1,1
6,1,1,1,1
4,4,2
4,4,1,1
4,3,3
4,3,2,1
4,3,1,1,1
4,2,2,2
4,2,2,1,1
4,2,1,1,1,1
4,1,1,1,1,1,1
3,3,3,1
3,3,2,2
3,3,2,1,1
3,3,1,1,1,1
3,2,2,2,1
3,2,2,1,1,1
3,2,1,1,1,1,1
2,2,2,2,2
2,2,2,2,1,1
2,2,2,1,1,1,1
2,2,1,1,1,1,1,1

（由于目标非常小，分区的数量不应该很大。如果目标是20，则最大分区数仅为627。）

将分区从短到长排序：

6,4  
6,3,1
6,2,2
4,4,2
4,3,3
6,2,1,1
...

从最短的分区开始，尝试在矩阵中找到它：
- 找到最大数字的位置，将单元格标记为选区中包含的单元格，并与分区的其余部分一起递归。
- 尝试使用分区中的相邻数字来增加选择。
- 如果找不到完整的分区，请跳至下一个分区。

如果矩阵中有零可以包含在选择中，则每当分区长度增加时（例如，当您从4,3,3移动到6,2,1,1时，重试用零填充的较短分区（如果可以的话）。

如果矩阵中的值非常随机，即没有专门设计使其难以找到解，那么我认为这种方法应该大大减少必要的递归次数。（我还没有试过编码，所以我无法做出很好的估计。）

在矩阵中找到连通单元的最有效方法

2 个答案:

NP-硬度

如果只能选择正数