将弓箭手放在墙上

Question

我有一个矩阵（0和1），代表城墙和周围环境。

我的任务是以某种方式将n弓箭手放在墙上，以尽可能多地覆盖周围环境。有两条规则：

1 ：每个射手的射程都是1 - 这意味着，他只可以在相邻的地砖上射击（每个地块都有8个邻居），这不是围墙（此军队禁止友军射击） ！）。

2 ：如果发生这种情况，多个弓箭手可以在同一个牌上进行射击，那个牌只计为一个。

我正在努力为此找到有效的解决方案 - 部分是因为我不知道，如果在多项式时间内存在任何问题。 有没有？

我猜第一步是使用BFS算法对矩阵上的每个图块进行评级，但我不知道如何使用第二个规则有效地解决它。蛮力解决方案非常简单 - 评估每个位置，然后尝试所有这些，这将是非常非常无效的 - 我认为O（|可能的位置| ^ n），这是不好的。

简单示例：

灰色瓷砖代表墙壁。瓷砖内的数字表示放置在该瓷砖上的射手的覆盖范围。可以肯定的是，我添加了橙色，代表了位于瓷砖b2上的弓箭手的覆盖范围。最后的信息 - 正确的解决方案是b2和b6，覆盖率为14.它不能是b2和b4，因为它们只覆盖了11个瓷砖。

Answer 1

我不知道如何在保证多项式时间内解决问题，但您可以将问题表达为整数线性程序，可以使用ILP求解器（如GLPK）来解决。

令c[i]为0-1个整数变量，每个变量周围一个变量。这些将代表这个方格是否被至少一名射手覆盖。

让a[i]为0-1个整数变量，每个城堡墙的一个方块。这些将代表射手是否站在这个广场上。

最多只有n弓箭手：sum(a[i] for i in castle walls) <= n

如果没有相邻的弓箭手，c[i]必须为零：sum(a[j] for j castle wall adjacent to i) >= c[i]

优化目标是最大化sum(c[i])。

例如，假设这是地图（.所在的地方，#城堡墙），并且想要放置两个弓箭手。

....
.###
....

然后我们有这个ILP问题，其中所有变量都是0-1整数变量。

maximize (
      c[0,0] + c[0,1] + c[0,2] + c[0,3]
    + c[1,0]
    + c[2,0] + c[2,1] + c[2,2] + c[2,3])

such that:

a[1,1] + a[1,2] + a[1,3] <= 2

c[0,0] <= a[1,1]
c[0,1] <= a[1,1] + a[1,2]
c[0,2] <= a[1,1] + a[1,2] + a[1,3]
c[0,3] <= a[1,2] + a[1,3]
c[1,0] <= a[1,1]
c[2,0] <= a[1,1]
c[2,1] <= a[1,1] + a[1,2]
c[2,2] <= a[1,1] + a[1,2] + a[1,3]
c[2,3] <= a[1,2] + a[1,3]