计算三元组的数量a * b = c

Question

问题是计算三元组的数量

a * b = c
where a1 <= a <= a2 and b1 <= b <= b2 and c1 <= c <= c2

输入将是a1，a2，b1，b2，c1，c2

我能想到的解决方案是使用两个嵌套循环，从a1到a2迭代，第二个从b1到b2，然后将它们相乘，看看乘法值是否在c1到c2的范围内，然后递增计数

当约束非常高时如何有效地解决问题，即所有a1，a2，b1，b2，c1，c2的值都可以在0到1000000000之间。

Answer 1

第1部分：O（a2 - a1）复杂度的解决方案。

首先，请注意，在给定某个a的情况下，我们可以轻松地计算b值b1 <= b <= b2的数量，其中c1 <= a * b <= c2也满足c1 / a <= b <= c2 / a。后一个条件等同于max(b1, c1/a) <= b <= min(b2, c2/a)，因此我们需要计算满足N(a) = floor(min(b2, c2/a)) - ceil(max(b1, c1/a)) + 1的整数b的数量。

此数字为(1) - 关系N(a1) + N(a1 + 1) + ... + N(a2)。

问题的解决方案是(a, b)。

这比循环所有O(a2 - a1)对并检查其产品更有效，但是，对于给定的输入幅度，它可能仍然不够快 - 复杂度为a。由于问题在b和O(b2 - b1)中是对称的，因此使用N(a1, a2, b1, b2, c1, c2)复杂度可能更为有利。

在以下两部分中，我将介绍一种更有效的解决方案。

第2部分：将问题简化为更简单的问题。

让我们将N(a1, a2, b1, b2, c1, c2) = N(a1, a2, b1, b2, 0, c2) - N(a1, a2, b1, b2, 0, c1 - 1)表示为我们需要计算的值。

请注意，我们可以使用：

将问题转化为c1 = 0的两个问题

N(a1, a2, b1, b2, 0, C) = N(a1, a2, 0, b2, 0, C) - N(a1, a2, 0, b1 - 1, 0, C)。

我们可以更进一步，将c1 = 0的问题减少为两个问题，其中b1 = 0，c1 = 0.这可以通过以下方式完成：

N(0, A, 0, B, 0, C)。

同样，我们可以将b1 = 0和c1 = 0的问题减少为a1 = 0，b1 = 0，c1 = 0的两个问题。

因此，足以解决需要计算以下形式值的更简单问题：(a, b, c)，即我们需要计算自然数的三元组数{{1 } {}，c = a * b，a <= A，b <= B，c <= C。

第3部分：O（sqrt（c2））复杂度的解决方案。

下一个有用的观察结果是，自a * b = c <= C起，以下关系中至少有一个为真：a <= sqrt(C)或b <= sqrt(C) - 观察(2)。

在证明的第一部分（关系1）中，我们可以有效地计算（O(1)）b个好a值的数量a <= sqrt(C)是固定的。使用该关系，我们可以在O(sqrt(C))中使用a > sqrt(C)有效地计算三元组的数量。

剩下要做的是用(2)计算三胞胎的数量。根据观察b <= sqrt(C)，我们知道在这种情况下需要b。

因此，对于{0, 1, 2, ..., sqrt(C)}中的任何a，我们必须计算好sqrt(C) < a < A值的数量，以便(1)。我们可以再次应用关系a（这次b和b的角色相反 - 现在我们会a并计算好b的数量}值，受属于某个间隔的约束）。对于{0, 1, 2, ..., sqrt(C)}中的每个a，我们可以计算O(1)中良好O(sqrt(C))的数量 - 因此此案例的复杂性再次为O(sqrt(C))。

使用上述结果，我们得到O(sqrt(c2))的整体复杂性。回到最初的问题，这涉及./node_modules/.bin/webpack --env.ENV development复杂性。

Answer 2

使用 b = b a的fac。即如果你试过a = 2，b = 3，那么尝试a = 3，b = 2就没有意义。

此外，一旦a * b> c2，增加a或b没有任何意义。