我有一个矩阵，其中每行至少有一个NA单元格，每列也至少有一个NA单元格。我需要的是找到不包含NA的矩阵的最大子集。
例如，对于此矩阵A
A <-
structure(c(NA, NA, NA, NA, 2L, NA,
1L, 1L, 1L, 0L, NA, NA,
1L, 8L, NA, 1L, 1L, NA,
NA, 1L, 1L, 6L, 1L, 3L,
NA, 1L, 5L, 1L, 1L, NA),
.Dim = c(6L, 5L),
.Dimnames =
list(paste0("R", 1:6),
paste0("C", 1:5)))
A
C1 C2 C3 C4 C5
R1 NA 1 1 NA NA
R2 NA 1 8 1 1
R3 NA 1 NA 1 5
R4 NA 0 1 6 1
R5 2 NA 1 1 1
R6 NA NA NA 3 NA
有两个解决方案（8个单元格）：A[c(2, 4), 2:5]和A[2:5, 4:5]，但只找到一个有效的解决方案就足够了。我的实际矩阵的尺寸是77x132。
作为一个菜鸟，我认为没有明显的方法可以做到这一点。任何人都可以帮我一些想法吗？
答案 0 :(得分：7)
1）优化在这种方法中，我们将问题放宽到我们用optim解决的持续优化问题。
目标函数是f，其输入是0-1向量，其第一个nrow(A)条目对应于行，其余条目对应于列。 f使用矩阵Ainf，该矩阵A派生自Ainf，用较大的负数代替NA，而用1代替非NAs。x负数为-x[seq(6)] %*% Ainf %*$ x[-seq(6)]与x对应的行和列矩形中的元素数量为x，我们将其作为A的函数最小化，其中k的每个成分都位于0和0之间1.
虽然这是对原始问题的一种放宽，但仍然可以根据需要获得整数解决方案。
实际上下面的大多数代码只是为了得到起始值。为此，我们首先应用系列化。这会置换行和列，从而产生更多块状结构，然后在置换矩阵中找到最大的正方形子矩阵。
在问题中特定largestSquare的情况下，最大的矩形子矩阵恰好是正方形，并且起始值已经足够好以至于它们产生最优但我们将执行优化，因此它一般工作。如果您愿意，可以使用不同的起始值。例如，在largestSquare中将k从1更改为更高的数字，在这种情况下，k将返回k列，其中包含可用于optim的起始值library(seriation) # only used for starting values
A.na <- is.na(A) + 0
Ainf <- ifelse(A.na, -prod(dim(A)), 1) # used by f
nr <- nrow(A) # used by f
f <- function(x) - c(x[seq(nr)] %*% Ainf %*% x[-seq(nr)])
# starting values
# Input is a square matrix of zeros and ones.
# Output is a matrix with k columns such that first column defines the
# largest square submatrix of ones, second defines next largest and so on.
# Based on algorithm given here:
# http://www.geeksforgeeks.org/maximum-size-sub-matrix-with-all-1s-in-a-binary-matrix/
largestSquare <- function(M, k = 1) {
nr <- nrow(M); nc <- ncol(M)
S <- 0*M; S[1, ] <- M[1, ]; S[, 1] <- M[, 1]
for(i in 2:nr)
for(j in 2:nc)
if (M[i, j] == 1) S[i, j] = min(S[i, j-1], S[i-1, j], S[i-1, j-1]) + 1
o <- head(order(-S), k)
d <- data.frame(row = row(M)[o], col = col(M)[o], mx = S[o])
apply(d, 1, function(x) {
dn <- dimnames(M[x[1] - 1:x[3] + 1, x[2] - 1:x[3] + 1])
out <- c(rownames(M) %in% dn[[1]], colnames(M) %in% dn[[2]]) + 0
setNames(out, unlist(dimnames(M)))
})
}
s <- seriate(A.na)
p <- permute(A.na, s)
# calcualte largest square submatrix in p of zeros rearranging to be in A's order
st <- largestSquare(1-p)[unlist(dimnames(A)), 1]
res <- optim(st, f, lower = 0*st, upper = st^0, method = "L-BFGS-B")
> res
$par
R1 R2 R3 R4 R5 R6 C1 C2 C3 C4 C5
0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1
$value
[1] -9
$counts
function gradient
1 1
$convergence
[1] 0
$message
[1] "CONVERGENCE: NORM OF PROJECTED GRADIENT <= PGTOL"
的{{1}}运行效果最佳。
如果起始值足够好，那么这应该产生最佳值。
optim，并提供：
GenSA 2）GenSA 另一种可能性是重复（1）但不使用par使用GenSA包中的f。它不需要起始值（虽然您可以使用nr参数提供起始值，这可能会在某些情况下改进解决方案）因此代码要短得多，但由于它使用模拟退火，因此可以预期运行时间长得多。使用{1}中的Ainf（以及f使用的library(GenSA)
resSA <- GenSA(lower = rep(0, sum(dim(A))), upper = rep(1, sum(dim(A))), fn = f)
和> setNames(resSA$par, unlist(dimnames(A)))
R1 R2 R3 R4 R5 R6 C1 C2 C3 C4 C5
0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1
> resSA$value
[1] -9
来自（1）。下面我们尝试没有起始值。
validates :email, uniqueness: true
，并提供：
$breakpoints: (
small: 0,
medium: 640px,
large: 1024px,
xlarge: 1200px,
xxlarge: 1440px,
);
$breakpoint-classes: (small medium large);
答案 1 :(得分：5)
我有一个解决方案，但它不能很好地扩展：
findBiggestSubmatrixNonContiguous <- function(A) {
A <- !is.na(A); ## don't care about non-NAs
howmany <- expand.grid(nr=seq_len(nrow(A)),nc=seq_len(ncol(A)));
howmany <- howmany[order(apply(howmany,1L,prod),decreasing=T),];
for (ri in seq_len(nrow(howmany))) {
nr <- howmany$nr[ri];
nc <- howmany$nc[ri];
rcom <- combn(nrow(A),nr);
ccom <- combn(ncol(A),nc);
comcom <- expand.grid(ri=seq_len(ncol(rcom)),ci=seq_len(ncol(ccom)));
for (comi in seq_len(nrow(comcom)))
if (all(A[rcom[,comcom$ri[comi]],ccom[,comcom$ci[comi]]]))
return(list(ri=rcom[,comcom$ri[comi]],ci=ccom[,comcom$ci[comi]]));
}; ## end for
NULL;
}; ## end findBiggestSubmatrixNonContiguous()
它的基础是，如果矩阵具有足够小的NA密度，那么通过首先搜索最大的子矩阵，您很可能会很快找到解决方案。
该算法的工作原理是计算行的所有计数的笛卡尔积和计数列，这些列可以从原始矩阵中索引以生成子矩阵。然后，这组计数对按子矩阵的大小递减排序，子矩阵将由每对计数产生;换句话说，按两个计数的乘积排序。然后迭代这些对。对于每对，它计算可以对该对计数采用的行索引和列索引的所有组合，并依次尝试每个组合，直到找到包含零个NA的子矩阵。找到这样的子矩阵后，它会将该组行和列索引作为列表返回。
结果保证是正确的，因为它以递减顺序尝试子矩阵大小，因此它找到的第一个必须是满足条件的最大（或最大）可能的子矩阵。
## OP's example matrix
A <- data.frame(C1=c(NA,NA,NA,NA,2L,NA),C2=c(1L,1L,1L,0L,NA,NA),C3=c(1L,8L,NA,1L,1L,NA),C4=c(NA,1L,1L,6L,1L,3L),C5=c(NA,1L,5L,1L,1L,NA),row.names=c('R1','R2','R3','R4','R5','R6'));
A;
## C1 C2 C3 C4 C5
## R1 NA 1 1 NA NA
## R2 NA 1 8 1 1
## R3 NA 1 NA 1 5
## R4 NA 0 1 6 1
## R5 2 NA 1 1 1
## R6 NA NA NA 3 NA
system.time({ res <- findBiggestSubmatrixNonContiguous(A); });
## user system elapsed
## 0.094 0.000 0.100
res;
## $ri
## [1] 2 3 4
##
## $ci
## [1] 2 4 5
##
A[res$ri,res$ci];
## C2 C4 C5
## R2 1 1 1
## R3 1 1 5
## R4 0 6 1
我们看到该函数在OP的示例矩阵中运行得非常快，并返回正确的结果。
randTest <- function(NR,NC,probNA,seed=1L) {
set.seed(seed);
A <- replicate(NC,sample(c(NA,0:9),NR,prob=c(probNA,rep((1-probNA)/10,10L)),replace=T));
print(A);
print(system.time({ res <- findBiggestSubmatrixNonContiguous(A); }));
print(res);
print(A[res$ri,res$ci,drop=F]);
invisible(res);
}; ## end randTest()
我编写了上面的函数来简化测试。我们可以调用它来测试NR的大小为NC的随机输入矩阵，并且可以在probNA的任何给定单元格中选择NA。
以下是一些简单的测试：
randTest(8L,1L,1/3);
## [,1]
## [1,] NA
## [2,] 1
## [3,] 4
## [4,] 9
## [5,] NA
## [6,] 9
## [7,] 0
## [8,] 5
## user system elapsed
## 0.016 0.000 0.003
## $ri
## [1] 2 3 4 6 7 8
##
## $ci
## [1] 1
##
## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 4
## [3,] 9
## [4,] 9
## [5,] 0
## [6,] 5
randTest(11L,3L,4/5);
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] NA NA NA
## [2,] NA NA NA
## [3,] NA NA NA
## [4,] 2 NA NA
## [5,] NA NA NA
## [6,] 5 NA NA
## [7,] 8 0 4
## [8,] NA NA NA
## [9,] NA NA NA
## [10,] NA 7 NA
## [11,] NA NA NA
## user system elapsed
## 0.297 0.000 0.300
## $ri
## [1] 4 6 7
##
## $ci
## [1] 1
##
## [,1]
## [1,] 2
## [2,] 5
## [3,] 8
randTest(10L,10L,1/3);
## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] NA NA 0 3 8 3 9 1 6 NA
## [2,] 1 NA NA 4 5 8 NA 8 2 NA
## [3,] 4 2 5 3 7 6 6 1 1 5
## [4,] 9 1 NA NA 4 NA NA 1 NA 9
## [5,] NA 7 NA 8 3 NA 5 3 7 7
## [6,] 9 3 1 2 7 NA NA 9 NA 7
## [7,] 0 2 NA 7 NA NA 3 8 2 6
## [8,] 5 0 1 NA 3 3 7 1 NA 6
## [9,] 5 1 9 2 2 5 NA 7 NA 8
## [10,] NA 7 1 6 2 6 9 0 NA 5
## user system elapsed
## 8.985 0.000 8.979
## $ri
## [1] 3 4 5 6 8 9 10
##
## $ci
## [1] 2 5 8 10
##
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 2 7 1 5
## [2,] 1 4 1 9
## [3,] 7 3 3 7
## [4,] 3 7 9 7
## [5,] 0 3 1 6
## [6,] 1 2 7 8
## [7,] 7 2 0 5
我不知道一种简单的方法来验证上述结果是否正确，但对我来说这看起来不错。但是生成这个结果花了将近9秒钟。在中等大的矩阵上运行函数，特别是77x132矩阵，可能是一个失败的原因。
等待有人能想出一个出色的高效解决方案......