Question

假设我们有一个跟随循环：

for (int i = 0; i < n; i++)
   for (int j = i+1; j < n; j++)
      for (int k = j+1; k < n; k++)
         for (int l = 0; l < n; l++)

我知道第一个循环将循环 n 次。

我认为第二个将会运行（1/2）*（n ^ 2 + n - 2）次，因为我们需要计算从2到2的总和n，而不是从1到n。

但是，我不知道第三和第四个。

Answer 1

有（至少）两种方式来理解时间复杂度：第一种方法是注意三个嵌套的for循环生成所有3 - n - 集的子集，以及第二个是“直接”方法。

组合论证

前三个for循环精确选择所有3 - n - 集的子集，每个3 - 子集恰好一次（考虑一下）。有(n choose 3) = O(n^3)个此类子集（请参阅here）。最里面的循环O(n)适用于其他三个循环的每个O(n^3)次迭代，因此总时间为O(n^4)。

三个循环（没有最里面的循环）完全进行n choose 3 = n!/(3!(n-3)!)次迭代。这正是n*(n-1)*(n-2) / 6次迭代。

直接参数

最内层循环将执行n次，无论其他循环如何，因此时间复杂度为O(n * f(n))，其中f(n)是其他三个循环的时间复杂度，如果我们删除最内层的。

两个最里面的循环（j - 和k - 索引的循环）一起花费O(i^2)时间。这很容易看出 - 它与从j=0到i-1和k=j到i-1的双循环相同，所以时间是{{1 }}

因为outtermost循环从O(1) + O(2) + ... + O(i) = O(i^2)变为i=0，所以总复杂度为n-1，即n * (O(1^2) + O(2^2) + ... + O(n^2))：outtermost循环（O(n * n^3) - 已编入索引）执行从i到j的双重for循环（k - 和i=0 - 索引）。

因此我们的总运行时间为i=n-1。

要获得确切的迭代次数，您必须为合适的O(n^4)计算术语i*(i-1)/2 = (i^2-i)/2的总和。我们只是总和，最后除以2。

你可以把它分成两个总和，

现在我们除以2得到结果(1^2 + 2^2 + ...n-1) - (1 + 2 + ... + n-1) = = n(n-1)(2n-1)/6 - n*(n-1)/2 = = n*(n-1)(n-2)/3。与上面完全相同。（见how to compute the sum of first n squares。）

Answer 2

第一个循环将重复n次，第二个循环将进行（n-1）次，第三个循环将循环（n-2）次，最后一个循环将进行l次。最后所有人都会去 N *（N-1）*（N-2）*升次。

具有因变量的嵌套循环

2 个答案:

组合论证

直接参数