Question

关于终止函数定义的问题。

我们有一个相对简单的函数来计算输入的⌊log2n⌋。

LOG2
Configuration: {[r, n] | Integers r ≥ 0 and n ≥ 1}
[r, n] -> [r + 1, n/2] if n > 1 ∧ n even
[r, n] -> [r, n − 1] if n > 1 ∧ n odd

我们被问到一些终止函数μ（r，n）是否正确。

μ（r，n）= n 是正确的：函数的结束条件是 n = 1 ，因为那时 r = ⌊log₂n⌋⌋。
然而，μ（r，n）= 2n + r 显然也是正确的。
此外，μ（r，n）= n + r 不正确

我理解终止函数μ（r，n）只是函数终止所依赖的变量，（在这种情况下 n 达到1 ，）那么为什么 2n + r 是一个终止函数？

在此上下文中，终止函数μ（r，n）的确切定义是什么？

Answer 1

对于进入循环的状态，终止函数μ必须为正，并且每次迭代都严格减少。那，加上自然数的有序性确保你的循环总是终止。（注意，不要求μ（s）= 1 s 退出循环，只是它每次迭代总是减少。）

选择μ（r，n）= n + r 的问题是 n = 2 的问题，我们有

n 甚至
n＆gt; 1

因此转换[r, n] -> [r + 1, n / 2]有效。但是，在这种情况下，我们有

μ(r',n') =         Definition of r' and n'
μ(r+1,n/2) =       Definition of μ
r + 1 + n/2 =      Rearrange via n = 2
r + 2 = 
r + n =            Definition of μ
μ(r, n)

所以μ并没有严格降低。

终止功能定义（算法）

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