Question

A recent question通常询问各种Haskell类之间的界限。我提出Handler作为有效Functor的示例，没有明智的 Apply **实例，其中

class Functor f => Apply f where
  (<.>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
  -- optional bits omitted.

但是，我还没有找到一个有效Functor的示例，该示例无法成为{em>有效（如果无意义）Apply的实例。 Apply 已的事实（见更新）但是单一的法律，

(.) <$> u <.> v <.> w = u <.> (v <.> w)

似乎让这很棘手。

McBride先前Functor的{{1}} Applicative并非pure，但他依靠Apply这样做，Apply中没有Handler 1}}。

**后来我意识到Apply实际上可能有一个明智的（虽然有些奇怪的）Apply (Coyoneda f)实例，它在概念上收集了同时发生的异常。

更新

Edward Kmett现在gave an example为x <.> (f <$> y) = (. f) <$> x <.> y f <$> (x <.> y) = (f .) <$> x <.> y提出了另外两条法律（用于验证我对{{1}}实例所做的优化）：

{{1}}

看看这些增加是否会改变这个问题的答案会很有趣。

Answer 1

两个仿函数（来自transformers的{{3}}）的“总和”似乎就是一个例子。

可以轻松映射一个分支或另一个分支，但是如果函数中的函数和函数中的参数位于不同的分支中，如何实现<.>？

ghci> import Data.Functor.Sum
ghci> import Data.Functor.Identity
ghci> let f = InL (Const ())   :: Sum (Const ()) Identity (Int -> Int)
ghci> let x = InR (Identity 5) :: Sum (Const ()) Identity Int
ghci$ f <.> x = ..... ?

Answer 2

是的，有Functor个没有Apply个实例。考虑两个函数的总和（exponents in algebraic data types）：

data EitherExp i j a
    = ToTheI (i -> a)
    | ToTheJ (j -> a)

所有Functor和i s都有j个实例：

instance Functor (EitherExp i j) where
    fmap f (ToTheI g) = ToTheI (f . g)
    fmap f (ToTheJ g) = ToTheJ (f . g)

但所有Apply和i s

都没有j个实例

instance Apply (EitherExp i j) where
    ...
    ToTheI f <.> ToTheJ x = ____

无法填写空白____。为此，我们必须了解i和j的内容，但无法查看Haskell中的每个类型i或j。直觉拒绝这个答案;如果您知道关于i或j的任何，就像他们居住的是单个值一样，那么您可以为Apply编写EitherExp个实例}

class Inhabited a where
    something :: a

instance (Inhabited i, Inhabited j) => Apply (EitherExp i j) where
    ...
    ToTheI f <.> ToTheJ x = ToTheI (const ((f something) (x something)))

但我们不知道每个i和每个j都是Inhabited。 Void类型没有任何东西居住。我们甚至没有办法知道每种类型都是Inhabited或Void。

我们的直觉实际上非常好;当我们可以检查如何构造类型时，对于代数数据类型，没有Functor没有Apply个实例。以下是两个可能更令我们直觉感到满意的答案。

不......

...代数数据类型。有3种可能性。结构无效，结构可以是空的，或者结构不能为空。如果结构无效，则absurd为Apply。如果它可以为空，请选择任何空实例并不断返回以进行任何应用。如果它不能为空，那么它是一个结构的总和，每个结构都不能为空，可以通过从第一个到第一个应用其中一个值^†来实现守法的应用。来自第二个的值，并以一些不变的结构返回它。

适用法律非常宽松。申请不需要任何意义。它不需要是“zip-y”。与fmap pure中的Applicative可疑内容结合使用时，无需pure;没有u <.> v = empty的概念可以写出要求它有意义的法律。

当结构可以为空时

选择任何空实例并不断返回任何应用

  (.) <$> u  <.> v  <.> w = u <.> (v <.> w)
(((.) <$> u) <.> v) <.> w = u <.> (v <.> w) -- by infixl4 <$>, infixl4 <.>
(_                ) <.> w = u <.> (_      ) -- by substitution
                    empty = empty           -- by definition of <.>

证明

当结构不能为空时

如果结构extract :: forall a. f a -> a不能为空，则存在函数c :: forall a. a -> f a。选择另一个函数u <.> v = c (extract u $ extract v)，它始终构造与参数填充的相同的非空结构，并定义：

extract (f <$> u) = f (extract u)
extract . c = id

使用自由定理

  (.) <$> u  <.> v  <.> w = u <.> (v <.> w)
(((.) <$> u) <.> v) <.> w = u <.> (v <.> w) -- by infixl4 <$>, infixl4 <.>
(c (extract ((.) <$> u) $ extract v)) <.> w = u <.> (v <.> w) -- by definition
(c ((.) (extract u)     $ extract v)) <.> w = u <.> (v <.> w) -- by free theorem 
c (extract (c ((.) (extract u) $ extract v)) $ extract w) = u <.> (v <.> w) -- by definition
c (           ((.) (extract u) $ extract v)  $ extract w) = u <.> (v <.> w) -- by extract . c = id
c (((.) (extract u) $ extract v) $ extract w) = u <.> c (extract v $ extract w) -- by definition
c (((.) (extract u) $ extract v) $ extract w) = c (extract u $ extract (c (extract v $ extract w))) -- by definition
c (((.) (extract u) $ extract v) $ extract w) = c (extract u $            (extract v $ extract w) ) -- by extract . c = id
let u' = extract u
    v' = extract v
    w' = extract w
c (((.) u' $ v') $ w') = c (u' $ (v' $ w'))
c ((u' . v') $ w') = c (u' $ (v' $ w')) -- by definition of partial application of operators
c (u' $ (v' $ w')) = c (u' $ (v' $ w')) -- by definition of (.)

证明

extract

关于为指数类型函数定义i -> a，值得多说一点。对于函数i，有两种可能性。 i有人居住或不居住。如果它有人居住，请选择一些居民extract f = f i ^†并定义

如果i -> a无人居住（它无效），那么absurd是具有单个值Void -> a的单位类型。 a只是另一个精心设计的空类型，它不包含任何absurd :: Void -> a absurd x = case x of {}个;将其视为可以为空的结构。

当结构无效时

当结构无效时，没有办法构造它。我们可以从每个可能的构造（没有传递给它）写一个函数到任何其他类型。

Functor

Void结构可以是fmap f = absurd，Apply。以同样的方式，他们可以拥有(<.>) = absurd实例

我们可以简单地证明所有v，w和(.) <$> u <.> v <.> w = u <.> (v <.> w)

没有v，w或a，且声明为vacuously true。

^†关于接受选择公理的一些注意事项，为指数类型a -> b选择索引Monad

是......

...对于Haskell。想象一下除了IO之外还有另一个基础OI，我们称之为Sum IO OI。然后Functor是Apply，但永远不能是{{1}}。

......为现实世界。如果你有一台可以发送功能的机器（或 Hask 以外的类别中的箭头），但是不能将两台机器组合在一起或者提取它们的运行状态，那么它们就是一个没有的Functor应用

Answer 3

这不是你正在寻找的，但它已经接近所以我想我会分享它。标准Writer monad对其Apply实例有一个额外的约束（即，w类型是Monoid或Semigroup的实例）{ {1}}实例没有，因此如果Functor不是Writer Foo / Functor，则Apply是Foo而不是Semigroup：

Monoid

然而，这并不是你所要求的一个例子，因为实际上可以创建一个守法的data Writer w a = Writer w a instance Monoid w => Apply (Writer w) where Writer w1 f <.> Writer w2 x = Writer (mappend w1 w2) (f x)实例而没有Apply约束：

Monoid

此实例的问题在于它不允许匹配的instance Apply (Writer w) where Writer w1 f <.> Writer w2 x = Writer w1 (f x)实例，因为无法实现Applicative以便获得左侧标识，即：

pure

这只是一种长期的方式，可以为您提供与Conor相同的答案：依赖于pure id <.> x /= x来破坏实例的演示。

是否有一个不能守法的Functor申请？

更新

3 个答案:

不......

当结构可以为空时

当结构不能为空时

当结构无效时

是......