Question

我想为以下函数找到一个根，误差小于0.05％

f=  3*x*tan(x)=1

在MatLab中我写了这样的代码：

clc,close all

syms x;

x0 = 3.5
f= 3*x*tan(x)-1;
df = diff(f,x);

while (1)

x1 =  1 / 3*tan(x0)

%DIRV.. z= tan(x0)^2/3 + 1/3

er = (abs((x1 - x0)/x1))*100

if ( er <= 0.05)
    break;
end

x0 = x1;

pause(1)
end

但它继续运行一个无限循环，错误200.00我不知道为什么。

Answer 1

不要使用while true，因为这通常是不必要的，并且容易陷入无限循环，就像这里一样。只需在while上设置限制：

while er > 0.05
    %//your code
end

此外，为了防止陷入无限循环，您可以使用迭代计数器并设置最大迭代次数：

ItCount = 0;
MaxIt = 1e5; %// maximum 10,000 iterations
while er > 0.05 & ItCount<MaxIt
    %//your code
    ItCount=ItCount+1;
end

Answer 2

我认为我将分别讨论四个问题：

为什么错误看似在200.0饱和并且循环无限延续？

定义迭代器，如代码中所写，正在寻找f(x) = x - tan(x)/3的根;换句话说，找到x与x的图形交叉的tan(x)/3值。这是真的唯一的一点是0。而且，如果您查看迭代的值，x1的值即将接近0。好。

坏消息是你也将这个值除以0。虽然x1的值仍然是有限的，但在浮点算术意义上，除法有效但可能会变得不准确，er在经过足够的迭代后实际上会NaN因为x1下溢低于IEEE-754标准中最小的非规范化数字。

为什么er 200之前呢？它大约为200，因为x1的值约为x0值的1/3，因为tan(x)/3本地表现为x/3，其泰勒展开约{{1} }}。并0。

除零和相对数量级是有时最好查看的绝对和相对错误度量值的原因。自变量和函数值。如果需要的话，即使在相对计算的分母中放置一个极其（相对）小的有限，常数值也不是完全在我脑海中的坏事（我记得在一些数字食谱书中看到它）），但这只是一种强健的创可贴，通常会隐藏更严重的错误。

与Newton-Raphson迭代相比，这种收敛性大不相同，因为它完全不知道斜率，并且定点迭代将收敛到固定点所在的位置（原谅次要重言式），假设它确实收敛。不幸的是，如果我没记错的话，只有当函数在某种程度上是连续的时才能保证定点收敛，abs(1 - 3)*100 == 200不是;因此，由于那些讨厌的极点妨碍了收敛，因此无法保证收敛。

您希望查找根目录的功能是tan(x)。该函数的定点迭代器将是f(x) = 3*x*tan(x)-1或x = 1/(3*tan(x))，它正在寻找x = 1/3*cot(x)和3*tan(x)的交集。但是，由于点数（2），这些迭代器仍然表现不好，因为它们是不连续的。

稍微不同的迭代器1/x应该表现得更好，因为x = atan(1/(3*x))的小值将产生有限值，因为x沿着整个实线是连续的。唯一的缺点是atan(x)的域限于间隔（-pi / 2，pi / 2），但如果它收敛，我认为限制是值得的。

最后，对于任何类似的未来编码工作，我强烈推荐@Adriaan的建议。如果想要在样式之间进行某种折衷，我的大部分迭代函数都是用这样的语义变量x编写的：

notDone

你可以添加标志和所有爵士乐，但这种格式是我经常使用的。

Answer 3

我相信使用牛顿方法进行收敛后，下面的代码可以实现您的目标。如果我错过了什么，请发表评论。

% find x: 3*x*tan(x) = 1

f    = @(x) 3*x*tan(x)-1;
dfdx = @(x) 3*tan(x)+3*x*sec(x)^2;

tolerance = 0.05; % your value?
perturbation = 1e-2;
converged = 1;

x = 3.5;
f_x = f(x);

% Use Newton s method to find the root
count = 0;
err = 10*tolerance; % something bigger than tolerance to start
while (err >= tolerance)
    count = count + 1;
    if (count > 1e3)
        converged = 0;
        disp('Did not converge.');
        break;
    end

    x0 = x;

    dfdx_x = dfdx(x);
    if (dfdx_x ~= 0)
        % Avoid division by zero
        f_x = f(x);
        x = x - f_x/dfdx_x;
    else
        % Perturb x and go back to top of while loop
        x = x + perturbation;
        continue; 
    end

    err = (abs((x - x0)/x))*100;
end

if (converged)
    disp(['Converged to ' num2str(x,'%10.8e') ' in ' num2str(count) ...
          ' iterations.']);
end

MatLab使用Fixed Point方法查找根

3 个答案: