简单的脚本，计算线性ODE的解决方案，给出错误的结果

Question

这是一个既涉及编程又涉及数学的问题。所以，我试图编写一个代码来计算由描述的线性ODE系统的一般解决方案。上面显示的数学公式为

在等式中出现的希腊符号\ PHI是expm(A*t)

 clear all

 A=[-2]; %system matrix

 t0=1; %initial time of simulation

 tf=2; %final time of simulation

 syms t x_0 

 x0=x_0;

 hom=expm(A*t); %hom means "homogeneous solution"

 hom_initialcond=hom*x0;%this is the homogeneous solution multiplied by the initial conditon

 invhom=inv(hom); %this is the inverse of the greek letter at which, multiplied by the input of the system, composes the integrand of the integral

 g=5*cos(2*t); %system input

 integrand=invhom*g; %computation of the integrand

 integral=int(integrand,t0,t); %computation of the definite integral from t0 to t, as shown by the math formula

 partsol=hom*integral; %this is the particular solution

 gen_sol=partsol+hom_initialcond %this is the general solution

 x_0=1; %this is the initial condition

 t=linspace(t0,tf); %vector of time from t0 to tf

 y=double(subs(gen_sol)); %here I am evaluating my symbolic expression

 plot(t,y)

问题是我的ODE解决方案的情节看起来不太好，你可以看到：

解决方案错误，因为图中显示的曲线不是从初始值开始等于1。但它的形状与MATLAB ODE求解器给出的图非常相似：

但是，如果我设置t0=0，那么我的代码和MATLAB解算器提供的图表就会非常相似。所以，我的代码对于t0=0来说很好，但是对于任何其他值我的代码出错了。

Answer 1

基本矩阵方面的一般解决方案是

或更常见的

但由于初始时间通常为零，因此基本矩阵的倒数通常被省略，因为它是零（即expm(zeros(n)) == eye(n)）和c矢量的线性，常系数问题的同一性。相当于初始条件向量。

将符号声明附近的一些线交换到此

 syms t x_0 c_0
 hom             = expm(A*t)                ;
 invhom          = inv(hom)                 ;
 invhom_0        = subs(invhom,t,sym(t0))   ;
 c_0             = invhom_0 * x_0           ;
 hom_initialcond = hom    * c_0             ;

应为非零初始时间提供正确的解决方案。