Question

我试图通过动态编程来解决标准切杆问题。如找到here和here，重现关系似乎是：

prices = [1..n]
array[1..n]

array[1] = prices[1]

for i in (2..n)
{
    array[i] = INT_MIN
    for j in (1..i-1)
    {
        array[i] = max(array[i],prices[j]+array[i-j])
    }
}

而array[n]会返回n的值，这是我们的答案。我的问题在于

array[i] = max(array[i],prices[j]+array[i-j])

不应该是

array[i] = max(array[i],array[j]+array[i-j])

想象一下，我们正在尝试查找长度8的最大值。现在，对于4，我们发现通过剪切一个长度为4的单个单位获得的值小于通过缩短3和1的长度获得的值，即n = 4，prices[4]不是最佳选择。但由于我们正在自下而上构建结果数组，array[4]是最佳的。与array[4]+array[4]相比，n = 8的最大值不是prices[4]+array[4]吗？我得到的解决方案看起来像这样：

prices = [1..n]
array[1..n]

for i in (1..n)
    array[i] = prices[i] //prices[i] is the minimum value we can obtain by cutting it fully 

for i in (2..n)
{
    for j in (1..i-1)
    {
        array[i] = max(array[i],array[j]+array[i-j]) // find out all possible (j,i-j) pairs, and compare with array[i]
    }
}

如果这不正确，请告诉我我在哪里逻辑错误。

Answer 1

array[i] = max(array[i],prices[j]+array[i-j])看起来对我来说。

在该算法中，j表示初始切割的杆长度。我们从一根长度为i的杆开始，并切断j。然后，我们需要知道我们可以获得i - j一根杆的数量，因为你只是切断了j长度并且你被i - j留下了。但是我们知道这个值至少和price[i-j]一样高，因为我们可以选择将杆作为一个整体出售，或者通过切割它来增加它的价值。

实施例：我们有一个长度为4的杆。假设array []已经包含1,2,3的最佳值，那么我们：

切掉一段长度为1的长度，然后检查我们可以得到多少长度为3的杆

切断一段长度2，然后检查我们能得到多少   对于长度为2的杆

切掉一块长度为3的长度，然后检查我们可以得到多少长度为1的杆

并选择最大值。

如果我们使用array[i] = max(array[i],array[j]+array[i-j])

array[k]包含长度为k的杆的最大值，如果我们将其切成碎片。因此，与使用price[k]时相比，这些值会出乎意料地高。

此外，递归中的当前步骤仅关注进行一次切割，并检查剩余的最大值，而不是双方最大值（当您发现大切割的值时将会处理）可能不太理想）

切割棒的算法使利润最大化

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