Question

我想知道Agda中是否有类似于Haskell deriving Eq条款的内容 - 然后我在下面也有一个相关的问题。

例如，假设我有玩具语言的类型，

data Type : Set where
  Nat  : Type
  Prp : Type

然后我可以通过模式匹配和C-c C-a，

实现可判定的相等性

_≟ₜ_ : Decidable {A = Type} _≡_
Nat ≟ₜ Nat = yes refl
Nat ≟ₜ Prp = no (λ ())
Prp ≟ₜ Nat = no (λ ())
Prp ≟ₜ Prp = yes refl

我很好奇这是否可以机械化或自动化，与Haskell中的方式类似：

data Type = Nat | Prp deriving Eq

感谢 - 你！

虽然我们讨论类型的主题，但我想将我的正式类型视为Agda类型：Nat只是自然数，而Prp是小命题。

⟦_⟧Type : Type → Set ?
⟦ Nat ⟧Type = ℕ
⟦ Prp ⟧Type = Set

可悲的是，这不起作用。我尝试通过提升解决这个问题但失败了，因为我对如何使用水平提升没有任何线索。任何帮助表示赞赏！

上述功能的一个示例用法是，

record InterpretedFunctionSymbol : Set where
  field
   arity   : ℕ
   src tgt : Type
   reify   : Vec ⟦ src ⟧Type arity → ⟦ tgt ⟧Type

谢谢你让我感到羞耻！

Answer 1

＆＃34; 7.3.2。派生数据类型的操作＆＃34; A Cosmology of Datatypes章节介绍了如何使用描述推导出操作。但是，派生的Eq在那里相当薄弱。

基本思想是使用一些一阶编码表示数据类型，即根据某些通用数据类型，并定义对此数据类型的操作，因此根据它编码的所有内容都可以由这些通用操作处理。我详细阐述了这个机制的一个简单版本here。

如果您拥有封闭的Universe，则可以派生出更强的Eq。使用类似于描述的方法（应该同样表达，但我没有检查）和封闭的宇宙我定义了通用show here，这允许例如在命名构造函数后打印元组向量：

instance
  named-vec : {A : Type} -> Named (vec-cs A)
  named-vec = record { names = "nil" ∷ "cons" ∷ [] }

test₂ : show (Vec (nat & nat) 3 ∋ (7 , 8) ∷ᵥ (9 , 10) ∷ᵥ (11 , 12) ∷ᵥ []ᵥ)
      ≡ "(cons 2 (7 , 8) (cons 1 (9 , 10) (cons 0 (11 , 12) nil)))"
test₂ = prefl

其中Vec的定义类似于Desc数据类型。 Eq案例应该类似，但更复杂。

以下是Lift的使用方法：

⟦_⟧Type : Type → Set₁
⟦ Nat ⟧Type = Lift ℕ
⟦ Prp ⟧Type = Set

ex₁ : ∀ A -> ⟦ A ⟧Type
ex₁ Nat = lift 0
ex₁ Prp = ℕ

ex₂ : ∀ A -> ⟦ A ⟧Type -> Maybe ℕ
ex₂ Nat n = just (lower n) -- or (ex₂ Nat (lift n) = just n)
ex₂ Prp t = nothing

如果A : Set α，则为Lift A : Set (α ⊔ ℓ) ℓ。因此，当您有ℕ : Set和Set : Set₁时，您希望将ℕ从Set提升到Set₁，这只是Lift ℕ - 在简单的情况下您不需要明确提供ℓ。

要构建包含在Lift中的数据类型的元素，请使用lift（如lift 0中所述）。要恢复此元素，请使用lower，因此lift和lower相互反转。请注意lift (lower x)并不一定与x位于同一个Universe中，因为lift (lower x)＆＃34;刷新＆＃34; ℓ。

更新：show链接现已中断（我应该使用固定链接）。但现在有一个更好的示例：an entire library为常规Agda数据类型派生Eq。

Answer 2

对于在Agda中实际实现“派生Eq”，您可以在https://github.com/UlfNorell/agda-prelude查看Ulf的agda-prelude。特别是，模块Tactic.Deriving.Eq包含用于为一般类（简单和索引）数据类型自动生成可判定等式的代码。

Agda的Haskell派生机制

2 个答案: