Question

使用子集的概念作为谓词，

ℙ : ∀ {b a} → Set a → Set (a ⊔ suc b)
ℙ {b} {a} X = X → Set b

我想考虑赋予子集谓词的结构，

record SetWithAPredicate {a c} : Set {!!} where
  field
   S : Set a
   P : ∀ {b} → ℙ {b} S → Set c

由于ℙ中使用的水平量化，这是一种结构错误的结构。当我使用S, P作为模块的参数时，一切正常，但我希望它们是记录，以便我可以在它们上形成构造并给出它们的实例。

我尝试过其他一些事情，例如通过存在主义移动定义中b的等级ℙ，但这导致了可能性更大的麻烦。我还尝试更改P的类型，

P : ℙ {a} S → Set c

然后我再也不能要求空集来拥有该属性：

P-⊥ : P(λ _ → ⊥)

自Set != Set a以来输入效果不好---我必须承认，我试图在这里使用Level.lift，但未能这样做。更一般地说，这也不允许我表达闭包属性，例如P在任意联合下被关闭 - 这是我真正感兴趣的。

我明白我可以避免级别多态，

ℙ' : ∀ {a} → Set a → Set (suc zero ⊔ a)
ℙ' {a} X = X → Set

然后是简单的项目，例如最大的子集

ℙ'-⊤ : ∀ {i} {A : Set i} → ℙ' A
ℙ'-⊤ {i} {A} = λ e → Σ a ∶ A • a ≡ e
-- Σ_∶_•_ is just syntax for Σ A (λ a → ...)

甚至不会进行类型检查！

也许我没有意识到子集作为谓词的概念 - 任何建议都会受到赞赏。感谢您！

Answer 1

您需要b从P这样抬起

record SetWithAPredicate {a c} b : Set {!!} where
  field
   S : Set a
   P : ℙ {b} S → Set c

是的，这很丑陋，但是这就是Agda（an example中标准库的完成方式：{{1}}不是宇宙多态的。 _>>=_有时可以提供帮助，但很快gets out of hand。

也许我没有意识到子集作为谓词的概念适当的 - 任何建议都会受到赞赏。

您的定义是正确的，但还有另一个定义，请参阅Conor McBride的lecture notes中的4.8.3。