Question

假设我们想以两种不同的方式计算（a + b）²，即

（a + b）*（a + b）
a ² + 2 a b + b ²

现在，假设b = -2.7和format long。如果我们使用1.690000000000001在公式中插入这两个数字，我们会在a = 1.4; b = -2.7; format long r = (a + b) * (a + b) r2 = a^2 + 2*a*b + b^2 abs_diff = abs(r - r2)两种情况下获得，也就是说，如果我运行以下脚本：

r = 1.690000000000001

r2 = 1.690000000000001

abs_diff = 6.661338147750939e-16

我获得了

这里发生了什么？我可以预览r2或r的不同结果（因为Matlab将执行不同的浮点运算），但不能预测它们差异的绝对值。

我还注意到r2和rel_err1 = abs(1.69 - r) / 1.69 rel_err2 = abs(1.69 - r2) / 1.69的相对误差是不同的，也就是说，如果我这样做

rel_err1 = 3.941620205769786e-16

rel_err2 = 7.883240411539573e-16

我获得了

这只会让我觉得r2实际上并不是eps / 2。有没有办法完全看到它们，如果它们真的不同？如果没有，发生了什么？

此外，两个相对误差都不小于{{1}}，这是否意味着发生溢出？如果是的话，在哪里？

注意：这是一个特例。我知道我们正在处理浮点数和舍入错误。但是我希望通过这个例子来更好地理解它们。

Answer 1

不要依赖format long的输出来得出两个数字相等的结论......

a = 1.4;
b = -2.7
r1 = (a + b) * (a + b);
r2 = a^2 + 2*a*b + b^2;
r3 = (a+b)^2;

相反，您可以使用以下方法检查其十六进制表示：

>> num2hex([r1 r2 r3])
ans =
3ffb0a3d70a3d70d
3ffb0a3d70a3d710
3ffb0a3d70a3d70d

或printf系列函数：

>> fprintf('%bx\n', r1, r2, r3)
3ffb0a3d70a3d70d
3ffb0a3d70a3d710
3ffb0a3d70a3d70d

甚至：

>> format hex
>> disp([r1; r2; r3])
   3ffb0a3d70a3d70d
   3ffb0a3d70a3d710
   3ffb0a3d70a3d70d

Answer 2

Floating point arithmetic is not associative

虽然在数学上这两个是相等的，但它们不是浮点数学。

r = (a + b) * (a + b)

r2 = a^2 + 2*a*b + b^2

在浮点数学中执行的顺序操作非常相关。这就是为什么当你做浮点数学时你需要非常小心你的乘法/除法的顺序，特别是在使用非常大的数字和非常小的数字时。

在MATLAB中减去两个相等的浮点数不等于0

2 个答案: