绘制直径均匀

Question

我需要使用具有这些约束的像素绘制圆圈：

1. 直径上的像素总数是偶数，
2. 在半径为R和R + 1的两个圆之间没有空像素（R是整数）。

中点算法无法使用，但我发现Eric Andres写了我想要的确切内容。该算法可以在this article中以“半整数居中圆”的名称找到。对于那些无法访问它的人，我把有趣的部分放在问题的最后。

我在实现算法时遇到了困难。我使用Python语法在Processing中复制了算法（为了便于可视化）：

def half_integer_centered_circle(xc, yc, R):
    x = 1
    y = R
    d = R
    while y >= x:    
        point(xc + x, yc + y)
        point(xc + x, yc - y + 1)
        point(xc - x + 1, yc + y)
        point(xc - x + 1, yc - y + 1)
        point(xc + y, yc + x)
        point(xc + y, yc - x + 1)
        point(xc - y + 1, yc + x)
        point(xc - y + 1, yc - x + 1)
        if d > x:
            d = d - x
            x = x + 1
        elif d < R + 1 - y:
            d = d + y - 1
            y = y - 1
        else:
            d = d + y - x - 1
            x = x + 1
            y = y - 1

point()函数只绘制给定坐标处的像素。另请注意，在文章中，x初始化为S，这很奇怪，因为其他地方没有S（根本没有解释），但据说这个圈子从（x，y）=（1，R）开始，所以我写了x = 1。

我得到的结果是1像素到20像素之间的半径：



如您所见，圆圈之间有孔，R = 3的圆与给定的例子不同（见下文）。此外，与中点算法相比，圆圈并不是真正的圆形。

如何获得正确的结果？

Eric Andres原创算法：

Answer 1

我不明白该算法在该论文中的呈现方式。当我读到它时，与案例（b）相关的else if子句没有前面的if。当我以书面形式转录时，我得到与你相同的结果

查看文本，而不是伪代码，文章似乎建议采用以下形式的算法：

x = 1
y = R
while x is less than or equal to y:
    draw(x, y)
    # ...
    if the pixel to the right has radius between R - 1/2 and R + 1/2:
        move one pixel to the right
    if the pixel below has radius between R - 1/2 and R + 1/2:
        move one pixel down
    else:
        move one pixel diagonally down and right

这似乎有道理。在python：

#!/usr/bin/python3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pp

fg = pp.figure()
ax = fg.add_subplot(111)

def point(x, y, c):
    xx = [x - 1/2, x + 1/2, x + 1/2, x - 1/2, x - 1/2 ]
    yy = [y - 1/2, y - 1/2, y + 1/2, y + 1/2, y - 1/2 ]
    ax.plot(xx, yy, 'k-')
    ax.fill_between(xx, yy, color=c, linewidth=0)

def half_integer_centered_circle(R, c):
    x = 1
    y = R
    while y >= x:
        point(x, y, c)
        point(x, - y + 1, c)
        point(- x + 1, y, c)
        point(- x + 1, - y + 1, c)
        point(y, x, c)
        point(y, - x + 1, c)
        point(- y + 1, x, c)
        point(- y + 1, - x + 1, c)
        def test(x, y):
            rSqr = x**2 + y**2
            return (R - 1/2)**2 < rSqr and rSqr < (R + 1/2)**2
        if test(x + 1, y):
            x += 1
        elif test(x, y - 1):
            y -= 1
        else:
            x += 1
            y -= 1

for i in range(1, 5):
    half_integer_centered_circle(2*i - 1, 'r')
    half_integer_centered_circle(2*i, 'b')

pp.axis('equal')
pp.show()

这似乎按预期工作。请注意，为简单起见，我删除了圆心。它应该很容易再次添加。

编辑已实现我可以匹配半径3图像，如果我稍微调整一下逻辑。

Answer 2

我一直在调查此事，并在原始论文中发现了三个问题：

1. 此处复制的算术圆（论文中的图10.a）与“半整数居中圆”的形式定义不一致。在一种情况下，到中心的距离必须在R-1/2和R + 1/2之间，在另一种情况下在整数值之间。结果是，如果正确实施，这个特定的算法永远不会产生图10.a的圆圈。

2. 算法伪代码的一个不等式有一个错误：案例（b）的测试应该是d <= (R + 1 - y)而不是d < (R + 1 - y)。

3. 满足x == y的所有像素仅具有4倍对称性（不是8倍），并且由算法生成两次。虽然生成重复的像素对于绘图例程可能不是问题，但是我感兴趣的应用程序是不可接受的。但是，通过添加对x == y条件的简单检查并跳过四个重复的可以很容易地解决这个问题。像素。

原始问题的python代码包括上面提到的不等式错误以及由于其中一个应该读取d = d + (y - x - 1)的表达式中缺少括号而导致的其他错误。

以下实现修复了所有这些并与python2和python3兼容（point（）函数中没有整数除法问题）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pp

fg = pp.figure()
ax = fg.add_subplot(111)

def point(x, y, c):
    xx = [x - 0.5, x + 0.5, x + 0.5, x - 0.5, x - 0.5 ]
    yy = [y - 0.5, y - 0.5, y + 0.5, y + 0.5, y - 0.5 ]
    ax.plot(xx, yy, 'k-')
    ax.fill_between(xx, yy, color=c, linewidth=0)


def half_integer_centered_circle(R, c):
    x = 1
    y = R
    d = R
    while y >= x:
        point(x, y, c)
        point(x, - y + 1, c)
        point(- x + 1, y, c)
        point(- x + 1, - y + 1, c)
        if y != x:
            point(y, x, c)
            point(y, - x + 1, c)
            point(- y + 1, x, c)
            point(- y + 1, - x + 1, c)
        if d > x:
            d = d - x
            x = x + 1
        elif d <= R + 1 - y:
            d = d + y - 1
            y = y - 1
        else:
            d = d + (y - x - 1)
            x = x + 1
            y = y - 1

for i in range(1, 5):
    half_integer_centered_circle(2*i - 1, 'r')
    half_integer_centered_circle(2*i, 'b')

pp.axis('equal')
pp.show()