这个功能的时间复杂度？

Question

algo(n)
   for i in 0 to n {
      for 0 to 8^i {
      }
   }
   for i to 8^d {
   }

任何关于此算法的时间复杂性的分析或信息都将是有用的。最坏的情况，最好的情况，下限/上限，theta / omega / big-o，递归关系等等。

Answer 1

您的算法以指数时间（T ∈ Θ(c^n)，c>1）运行。您可以使用Sigma表示法分析内部for循环（... for 0 to 8^i）的迭代次数：

由于您的算法位于Θ(8^n)，因此它也位于O(8^n)（上渐近边界）和Ω(8^n)（下渐近边界）。

上述分析是在假设最终d循环分析中的for小于或等于n的情况下执行的，在这种情况下，嵌套的两个for它之前的循环将占主导地位（因此我们不需要明确地分析最后一个非显性for循环）。

Answer 2

算法（n）基本上由两部分组成：

   for i in 0 to n
      for 0 to 8^i

和

   for i to 8^d

让我们从第一个开始吧。假设内循环的每次迭代都需要恒定的时间，那么它的复杂度为C*8^i。 现在，如果我们总结i的可能值，我们得到：

8^0 + 8^1 + 8^2 + .... + 8^n-1

这是sum of geometric series a=1, r=8，其总和是：

1 * (1-8 ^(n-1)) / (1-8) = 1 * (-1/7 + 8^(n-1)/7) 

对于n->infinity，这可以近似为8^(n-1)/7，我们可以得出结论，复杂性为Θ(8^(n-1)/7) = Θ(8^n)

第2部分非常简单，是8 ^ d。

这使得T(n)的总体复杂度在Θ(8^d + 8^n)