Question

我找到了一些代码来获取Pascal的三角形而不使用Java中的数组或nCr，如下所示：

int maxRows = 6;
int r, num;
for (int i = 0; i <= maxRows; i++) 
{
    num = 1;
    r = i + 1;

    //pre-spacing
    for (int j = maxRows - i; j > 0; j--) 
    {
        System.out.print(" ");
    }

    for (int col = 0; col <= i; col++) 
    {
        if (col > 0) 
        {
            num = num * (r - col) / col;
        }
        System.out.print(num + " ");
    }
    System.out.println();
}

对于我的生活，我无法弄清楚这段代码如何生成所需的数字（序列中的下一个）：

    for (int col = 0; col <= i; col++) 
    {
        if (col > 0) 
        {
            num = num * (r - col) / col;
        }
        System.out.print(num + " ");
    }

有人可以解释数字生成背后的逻辑吗？我有兴趣了解如何获得下一位数字的公式，即num=num*(r-col)/col如何工作！我也有兴趣了解如何推导出这样的公式。

Answer 1

首先是一点理论： Pascal的三角形由二项式系数组成，其中第n行的第k列上的条目表示x ^（n-k）y ^ k的系数，其可以使用公式（n选择k）来计算，即n！ /（（n - k）！k！）。更多细节可以在wiki找到。

现在让我们看一下代码。

num = num * (r - col) / col

假设我们现在计算第n行和第k列的num值。在执行该行之前，num具有第n行和第（k-1）列的值，即

num == (n choose (k-1)) == n! / ((n - (k-1))!(k - 1)!)

并且num的新值应为：

    (n choose k) 
== n! / ((n - k)!k!) 
== (n! / ((n - (k-1))!(k - 1)!)) * (n - (k-1)) / k 
== num * (n - k + 1) / k

所以为了获得num的新值（来自代表前一个条目的num），我们需要将它乘以（row＃ - col＃+ 1）然后除以列＃。

这正是代码正在做的事情。在这一行：

num = num * (r - col) / col

r实际上是==（行＃+ 1），col是col＃。

P.S。不知道如何在stackoverflow上格式化公式。一旦弄清楚如何做到这一点，需要清理我的答案。

找出帕斯卡尔三角区的逻辑

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