计算嵌套for循环中的迭代次数

Question

这是伪代码：

for i=1 to n
   for j=1 to n
     for k=1 to j
       x = x+1

我必须计算这两件事（i）精确计算（ii）找到它-O

在（i）中，我的最终答案是n ^ 4 + 2n ^ 3 + 5n ^ 2 + 4n + 2。 在（ii）中，因为有三个循环，所以它是O（n ^ 3）;

似乎必须有（i）或（ii）错误，因为（i）升至4，而大O只是3。

这是我计算迭代时的步骤：

for(i=1; i <=n; i++)

计为1+（n + 1）+ n，即（2n + 2）。

所以，（2n + 2）+ n（2n + 2）+ n（4 + 6 + 8 + ... + 2n + 2）+ n ^ 2（1 + 2 + 3 + ... + n ）（2） 最后得出n ^ 4（见最后一项，AS * n的总和）。

Answer 1

对于像这样的嵌套循环计算内循环的迭代次数，Sigma表示法是一种方便的工具

由于我们通过相等来计算内部循环的迭代次数（即，确切地说，没有不等式），我们可以为算法的渐近行为声明更强的big-Θ属性。这是假设我们将"sort": [ "_doc" ] 定义为算法的基本操作（这里适用）。

对于您的算法---说x = x + 1 ---自然T分别表示上下渐近边界，T ∈ Θ(n^3)和T ∈ O(n^3)。