平等概率

Question

考虑以下几组概率（三个事件不相互排斥）：

0.05625成功，0.94375失败
0.05625成功，0.94375失败
0.05625成功，0.94375失败

如何计算至少一个事件发生的概率（即工会）？

如果可能的话，我更喜欢一个通用的，独立的解决方案，它也可以处理4个或更多事件。在这种情况下，我正在寻找的答案是：

0.05625 + 0.05625 + 0.05625 -
0.05625*0.05625 - 0.05625*0.05625 - 0.05625*0.05625 +
0.05625*0.05625*0.05625
##[1] 0.1594358

我的问题最终比标题更广泛，因为我正在寻找可以计算 union ，交集概率的函数（{{1 }}），没有事件发生（0.05625*0.05625*0.05625 = 0.0001779785）或恰好发生一件事（1 - 0.1594358 = 0.8405642）。换句话说，这个在线Conjunction of three events calculator的R解决方案。我已经查看了0.150300包，但似乎有一个界面太复杂，不适合这种简单的用例。

Answer 1

平等概率

您可以使用二项式密度函数dbinom得到恰好0,1,2或3的概率，这将返回获得指定成功次数（第一个参数）的概率独立尝试的总数（第二个参数）和每次尝试的成功概率（第三个参数）：

dbinom(0:3, 3, 0.05625)
# [1] 0.8405642090 0.1502995605 0.0089582520 0.0001779785

因此，如果您想要至少发生一次的可能性，那就是：

sum(dbinom(1:3, 3, 0.05625))
# [1] 0.1594358

或

1 - dbinom(0, 3, 0.05625)
# [1] 0.1594358

dbinom功能也可以解决您的其他问题。例如，所有发生的可能性是：

dbinom(3, 3, 0.05625)
# [1] 0.0001779785

恰好一个的可能性是：

dbinom(1, 3, 0.05625)
# [1] 0.1502996

没有的可能性是：

dbinom(0, 3, 0.05625)
# [1] 0.8405642

不等概率 - 一些简单的案例

如果在向量p中存储了不相等的概率，并且每个项目都是独立选择的，则需要做更多的工作，因为dbinom函数不适用。但是，有些计算非常简单。

没有选择任何项目的概率只是1减去概率的乘积（选择至少一个的概率只是一个减去这个概率）：

p <- c(0.1, 0.2, 0.3)
prod(1-p)
# [1] 0.504

所有概率都是概率的乘积：

prod(p)
# [1] 0.006

最后，确切选择一个概率的概率是概率乘以所有其他元素未被选中概率的所有元素的总和：

sum(p * (prod(1-p) / (1-p)))
# [1] 0.398

同样，选择确切n-1的概率（其中n是概率的数量）是：

sum((1-p) * (prod(p) / p))
# [1] 0.092

不等概率 - 完整案例

如果你想要每个可能的成功次数的概率，一个选项可能是计算所有2^n事件组合（这是A. Webb在答案中所做的）。相反，以下是O（n ^ 2）方案：

cp.quadratic <- function(p) {
  P <- matrix(0, nrow=length(p), ncol=length(p))
  P[1,] <- rev(cumsum(rev(p * prod(1-p) / (1-p))))
  for (i in seq(2, length(p))) {
    P[i,] <- c(rev(cumsum(rev(head(p, -1) / (1-head(p, -1)) * tail(P[i-1,], -1)))), 0)
  }
  c(prod(1-p), P[,1])
}
cp.quadratic(c(0.1, 0.2, 0.3))
# [1] 0.504 0.398 0.092 0.006

基本上，我们将P_ij定义为我们具有完全i次成功的概率，所有成功都位于j或更高位置。 i=0和i=1的基本案例计算相对简单，然后我们有以下重复：

P_ij = P_i(j+1) + p_j / (1-p_j) * P_(i-1)(j+1)

在函数cp.quadratic中，我们循环增加i，填写P矩阵（n x n）。因此总操作次数为O（n ^ 2）。

例如，这使您能够在一秒钟内计算大量选项的分布：

system.time(cp.quadratic(sample(c(.1, .2, .3), 100, replace=T)))
#    user  system elapsed 
#   0.005   0.000   0.006 
system.time(cp.quadratic(sample(c(.1, .2, .3), 1000, replace=T)))
#    user  system elapsed 
#   0.165   0.043   0.208 
system.time(cp.quadratic(sample(c(.1, .2, .3), 10000, replace=T)))
#    user  system elapsed 
#  12.721   3.161  16.567

我们可以在几分之一秒内计算1,000个元素的分布，并在一分钟内计算10,000个元素的分布;计算2 ^ 1000或2 ^ 10000个可能的结果将花费相当长的时间（子集的数量分别为301位和3010位数）。

Answer 2

这是一个创建所有事件组合，计算概率和按发生次数聚合的函数

cp <- function(p) 
{
  ev <- do.call(expand.grid,replicate(length(p),0:1,simplify=FALSE))
  pe <- apply(ev,1,function(x) prod(p*(x==1)+(1-p)*(x==0)))
  tapply(pe,rowSums(ev),sum)
}

与josilber's相同的示例，使用事件的概率独立于0.1,0.2和0.3发生：

cp(c(0.1,0.2,0.3))

    0     1     2     3 
0.504 0.398 0.092 0.006

所以，例如恰好发生两次独立事件的概率为0.092。

三个或更多集合的可能性

2 个答案:

平等概率

不等概率 - 一些简单的案例

不等概率 - 完整案例