algorithm - 递归与堆栈

虽然dancancode的answer讨论了primitive recursive问题，recursive问题和recursively enumerable问题等不同类型的问题，但恕我直言这个问题更多的是关于直截了当recursion或iteration。

我想知道递归是否是问题的唯一解决方案，那么迭代堆栈是唯一的其他解决方案吗？

不，有很多不同的计算模型。然而，lambda calculus（递归的基础）和Turing machines（迭代的基础）是最流行的计算模型。另一种流行的计算模型是μ-recursion。

什么是计算模型？

很长一段时间，数学家都想研究计算的本质。他们想知道哪些问题可以计算（即哪些问题有解决方案）以及哪些问题无法计算（即哪些问题没有解决方案）。他们还想知道计算的本质（例如，计算解决方案相对于其输入大小需要多长时间等）。

然而，只有一个问题：“计算”是一个非常抽象的术语。你怎么推理一些不具体的东西？这就是数学家需要一个他们可以推理的计算模型的原因。计算模型捕获了“计算的本质”。这意味着如果存在可以计算的问题，那么必须有一个算法在每个计算模型中计算它。

我认为它们是等价的：如果递归有效，那么迭代肯定会起作用，反之亦然。

是的，这是正确的。 Church-Turing thesis基本上表明每种计算模型的功效都相同。因此，使用递归（即lambda演算）可以做的所有事情也可以使用迭代（即图灵机）来完成。

事实上，世界上大多数计算机都基于图灵机。因此，每台计算机仅使用迭代。不过，您的计算机仍然可以执行递归程序。这是因为编译器会将递归程序转换为迭代机器代码。

此外，我不确定为什么递归被认为是低效的，并且经常导致堆栈溢出，而使用堆栈的迭代则不会。递归只是以用户看不到的自动方式使用堆栈。

这是因为操作系统处理进程的方式。大多数操作系统对堆栈的大小施加了最大限制。在我的Linux操作系统上，最大堆栈大小为8192 KB，这并不是很多。使用ulimit -s在POSIX兼容的操作系统上查找默认堆栈大小。这就是使用过多递归导致堆栈溢出的原因。

另一方面，在执行进程时（只要可用空间可用），可以动态增加堆的大小。因此，在使用迭代时（即使使用显式堆栈），您不必担心内存不足。

此外，递归通常比迭代慢，因为调用函数需要context switch，而在迭代中你只需要修改指令指针（即跳转，可能是条件）。

但是，这并不意味着迭代总是比递归更好。递归程序通常比迭代程序更小，更容易理解。此外，在某些情况下，编译器可以通过tail call optimization（TCO）完全消除上下文切换。这不仅使递归与迭代一样快，而且还确保堆栈大小不会增加。

有趣的是，通过将程序翻译成continuation-passing style（CPS），可以使所有递归程序都是尾递归的。因此，CPS和TCO可以完全eliminate the need of an implicit call stack。函数式编程语言的一些编译器和解释器在novel ways中使用此功能。

有所谓的原始递归函数，可以用循环重写。然后有一类称为递归的函数，必须递归定义。最后一个类是递归可枚举的函数。

着名的Ackermann函数是递归的，但不是原始的递归函数。

在Computerphile youtube频道上有关于该主题的精彩视频： The Most Difficult Program to Compute?

递归肯定是有效的。考虑合并排序（msort.c）的glibc实现是递归的。

请注意，尾递归有一个常见的编译器优化，它将递归函数编译成循环。