Question

我在hackerank上做了这个名为Even Tree的问题：

https://www.hackerrank.com/challenges/even-tree

最初我不知道如何切割边缘并在树外建造一片森林。所以我在网上查了一下，在stackeverflow上看到了这个答案：

Obtain forest out of tree with even number of nodes

好吧，只计算孩子的数量看起来更简单，我用C ++实现它：

#include <iostream>
#include <list>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
  int N, M, ans = 0;
  cin >> N >> M;
  vector<int> tree(N+1);
  vector<int> count(N+1);

  fill(count.begin(), count.end(), 1);
  for(int i = 0; i < M; i++) {
    int p, q;
    cin >> p >> q;
    tree[p] = q;

    int root = tree[p];

    // updating ancesors child count
    while(root) {
      count[root] += count[p];
      root = tree[root];
    }
  }

  int counter = 0;
  // displaying results
  for(int i = 2; i < count.size(); i++) {
    cout << count[i] << " ";
    if(count[i]%2 == 0)
      counter++;
  }
  cout <<"\nans : " <<  counter << endl;
  return 0;
}

我的问题是：这种方法有何用处？与选择具有最小边数的树相关联的子项数量？我不想复制解决方案，我想了解它背后的实际逻辑。请帮忙

Answer 1

首先，问题说所有测试用例（所有输入树），都有一种方法可以删除边缘，从而保留森林的均匀大小。当然，因为结果林中的每棵树都是偶数大小，这意味着节点N的总数必须是偶数。即使树必须有解决方案，因为至少他们可以删除0边缘以形成偶数森林。

请注意，有一些边缘 CAN NOT 被删除，即连接叶节点的边缘。因此，脑子里浮现出一些贪婪的想法，结果我可以证明它们，所以它们就成了解决问题的贪婪算法。

我声称

a）任何偶数大小的子树，我们都可以安全地从原始图中删除它们以减少问题而不影响结果，方法是删除子树根及其父级的边缘（如果存在））

b）任何奇数大小的子树，我们都可以用一个节点替换整个子树来减少问题。子树根的边缘及其父 CAN NOT 将被删除（如果存在）

我们通过矛盾证明 a）。假设我们删除图形的偶数子树将使问题从可解决到无法解决。在删除偶数子树后考虑图形，如果它是奇数大小，那么原始图形也是不可解的;如果它的大小均匀，则在删除偶数子树后必须有解。两种情况都产生矛盾。

b）非常简单，因为子树是奇数大小，其奇偶校验与单个叶节点相同，必须与其父节点连接。因此，我们可以用单个节点替换子树来减少问题。

通过 a）和 b），我们可以从树的叶子做一个贪婪的算法（因为我们已经知道必须选择连接叶子的边缘，他们正在形成子树，我们可以从这里开始减少问题）

将所有树叶与父母联系起来
对于形成的所有子树，如果子树是偶数，则将全局答案计数器加1并删除子树;如果子树是奇数，则将其替换为单个节点（现在也是叶子）。
重复2直到最多剩下1个节点

那就是它。从概念上讲，这是算法。

你可以使用许多不同的方法来实现它，我使用DFS直接将此算法转换为代码。

有些只是计算子项的数量，因为这可以判断子树是奇数还是偶数。

有人甚至只计算偶数度数的节点数！（这是迄今为止我所知道的最明智的解决方案）

但它们都背后有相同的概念：确定子树是偶数大小的奇数，删除它们（并增加应答计数器）或用单个节点替换它们以减少问题。

所有实现也共享相同的复杂度O（N）。

这是我接受的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int w[105][105] = {0}, v[105] = {0};
int n,m,ans=0;

int dfs(int x){
    v[x] = 1;
    int son = 0;
    for(int i=0; i<105;i++) 
        if(w[x][i] && !v[i]) son += dfs(i);
    if(son % 2) { ans++; return 0;}
    return 1;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n,&m);
    for(int i=0,a,b; i<m;i++){
        scanf("%d%d", &a,&b);
        w[a][b] = w[b][a] = 1;
    }
    dfs(1);
    printf("%d\n", ans-1);  
    return 0;
}

hackrerank甚至树解决方案解释（具有偶数节点的森林）

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