如何理解关系代数中的除法运算符`u = r÷s`？

Question

让我们成为一个拥有以下关系方案的数据库：R(A,B,D)和S(A,B)，同一域中的同名属性以及实例r和n

r的一个实例

s

的实例

该计划是什么？u=r÷s的元组是什么？如何使用r和s？

用英语定义它们

我的尝试

我知道

u=r÷s =

这让我觉得它只是一个A列的数组，但我不确定知道数组中的结果会是什么。

你能帮我理解你吗？

Answer 1

关系代数的除法运算符的直观属性就是它与笛卡尔积的逆。例如，如果你有两个关系R和S，那么，如果U是一个被定义为它们的笛卡尔积的关系：

U = R x S

该部门是运营商，以便：

U ÷ R = S

和

U ÷ S = R

因此，您可以将U ÷ R的结果视为：“U的投影，乘以R，生成U”，以及操作÷，作为查找与{em>所有 U元组合并的R的所有“部分”的操作。

然而，为了有用，我们希望这个操作可以应用于任何一对关系，也就是说，我们想要将不的关系划分为笛卡尔积的结果。为此，正式定义更复杂。

因此，假设我们有两个关系R和S，其属性分别为A和B，它们的除法可以定义为：

R÷S =π _AB （R） - π _AB （（π _AB （R）x S） - R）< / p>

可以这种方式阅读：

1. π _AB （R）x S：对R中不属于S的属性进行项目R，并将此关系与S相乘（笛卡儿积）。这与R的属性A和行的所有可能的S行组合和R的投影;

2. 从前面的结果中减去R中最初的所有元组，即执行（π _AB （R）x S） - R.这样我们得到“额外”元组，即笛卡尔积中的元组，不存在于原始关系中。

3. 最后，从原始关系中减去那些额外元组（但是，再次，仅对R中不存在于S中的R的属性执行此操作）。因此，最终的操作是：π _AB （R） - π _AB （步骤2的结果）。

所以，举个例子，r对D的投射等于：

(D)
d1
d2
d3 
d4

且s的笛卡尔积为：

(A,  B,  D)
 a1  b1  d1
 a1  b1  d2
 a1  b1  d3
 a1  b1  d4

现在我们可以从这个集合中删除原始关系r中的元组，即前两个元组和最后一个元组，以便我们获得以下结果：

(A,  B,  D)
 a1  b1  d3

最后，我们可以从原始关系（再次投影在D上）删除之前的元组（投射在D上），也就是说，我们删除：

(D)
d3

从：

(D)
d1
d2
d3
d4

我们得到以下结果，这是该部门的最终结果：

(D)
d1
d2
d4

最后，我们可以通过将结果乘以原始关系s（仅由元组(a1, b1)组成）来仔细检查结果：

(A  B  D)
 a1 b1 d1
 a1 b1 d2
 a1 b1 d4

查看原始关系r的行，你可以看到这个事实，它应该让你对除法运算符的含义有一个重要的见解：

  

D中r列与(a1, b1)（s的唯一元组）一起出现的唯一值d1，{ {1}}和d2。

您还可以在Wikipedia中看到另一个示例，有关除法的详细说明以及它的转换是SQL，您可以查看这些slides。