拓扑，缩放

Question

假设有一个2D平面（正方形），里面有一些点。

如何以尽可能均匀地填充飞机的方式移动所有点，但每个点都保持其邻居？

换句话说，我希望这些点尽可能地相互远离，但是它们的位置（拓扑）应该被保留，它们应该放在正方形中。

换句话说，我希望在富点人口区域放大并缩小空白区域。

PS：高维空间有一般的解决方案吗？有直接解决方案还是只有迭代解决方案？

Answer 1

一个好的建议是Lloyd's algorithm。但是，您要求的“邻居保留”属性并不清楚。

但是，如果您要问的是以下内容：

  

给出V所包含的图（V，E）   在[0,1] ^ 2和E的点上   细分，没有两个细分市场'   内部相交（即我们有一个   平面图）尽可能均匀地移动点，保留点   平面属性

然后劳埃德的算法会做。

除了： 推广不是根据空间点的位置，而是您为点请求的密度（例如，您可能需要对R ^ n进行高斯测量）。

Answer 2

这是一个可能的策略草图。

对于原始的P点，从正方形的边界添加一些点（至少是正方形的顶点）。这些点应该从边界均匀采样，如果最初有n个点，则应该从边界采样至少√n个额外点。调用此增强集Q。

然后执行Delaunay Triangulation Q.我们将在下一步中使用此三角测量的边缘。

现在做一个least squares minimization来找到P中点的位置（保持Q-P中的点固定），这样可以最小化边长的平方和。

您可以通过求解矩阵表达式来解决这个最小化问题，因此这是一个“直接解决方案”。

最小二乘问题的解决方案倾向于均衡边缘的长度。因此，小边缘将变得更大并且大边缘将变得更小。这样可以在保留其拓扑的同时更均匀地分布点。

这很容易推广到更高的维度。