每对之间共有1个项目的大小为N的集合

Question

例如，我有以下集合（N = 4）。任何两行只有一个共同的数字：

1  2  3  4
2  5  6  7
3  5  8  9
4  6  8  10
1  5  10 11
2  9
...

有人建议用算法来生成这样的序列吗？使用最少数量的唯一数字（这些数字或多或少均匀分布）。

在一个小时内，我一无所获。我甚至无法在纸上创建足够长的序列。

例如，由于错误的数字分配，这不会起作用：

1  2  3  4
1  5  6  7
1  8  9  10
1  11 12 13
1  14 15 16
...

我发现了这个序列：

1 2 3 4
1 5 6 7
1 8 9 10
1 11 12 13
2 5 8 11
2 6 9 12
2 7 10 13
3 5 9 13
3 6 10 11
3 7 8 12
4 5 10 12
4 6 8 13
4 7 9 11

Answer 1

我认为你的问题与一个名为“Dobble”的游戏中涉及的内容有关。请查看链接：https://math.stackexchange.com/questions/464932/dobble-card-game-mathematical-background

Answer 2

你需要生成所谓的＆＃34;块设计点＃34; （见维基百科）。最有趣的解决方案是N-1是素数还是其幂。然后看看＆＃34;投影飞机＆＃34;。对于N = 4，您需要生成三阶投影平面。在这种情况下，所需的行数和符号数（数量）都是N * N-N + 1。因此，对于N = 4，它是13。

生成投影平面的方法是Paige-Wexler正规形式的共同入射矩阵（参见Paige LJ，Wexler Ch。，A Canonical Form for Incidence Matrices of Projective Planes ....，In Portugalie Mathematica，vol 12， fasc 3,1953）。然后对于每一行，您只需写下列索引，您可以在其中看到关联矩阵中的列索引。对于N = 4（阶数= 3），Paige-Wexler正规形式的共同关联矩阵的示例在维基百科中。对于其他素数阶，你需要使用相应阶数的伽罗瓦域的乘法组来旋转排列矩阵的行，这使得它有点棘手。对于非主要订单（即主要电力订单，如8或9），它更加棘手。

Dobble游戏是第7阶投影平面的一个例子。 Dobble Kids是5阶投射平面。不幸的是，游戏制作人通过故意省略打印2张牌（或者在Dobble Kids的情况下为1张牌）来削弱投影平面。幸运的是，这个游戏推广了投影平面，所以你会发现现成的投影场生成器作为Dobble生成器。例如：

https://math.stackexchange.com/questions/1303497/what-is-the-algorithm-to-generate-the-cards-in-the-game-dobble-known-as-spo

在此链接中的所有正确答案中，您将注意到确实所有生成器都基于Paige-Wexler正规形式的关联矩阵。不幸的是，它们只适用于主要订单。

顺便说一句，如果你有Dobble（= SpotIt）游戏设置，你可以用数字替换符号，这将给你55行7阶投影平面。为了获得所有57行，丢失的两张牌（至少在我的集合中）： （雪人，灯泡，狗，感叹号，瓢虫，锤子，眼睛，头骨）和 （雪人，冰，仙人掌，人类，问号，花，绿色恐龙，枫叶）。