Question

Original Problem: Problem 1（INOI 2015）

有两个数组A[1..N]和B[1..N]

操作SSum在其上定义为

SSum[i,j]

A[i] + A[j] + B[t (where t = i+1, i+2, ..., j-1)] = i < j 当SSum[i,j]
A[i] + A[j] + B[t (where t = 1, 2, ..., j-1, i+1, i+2, ..., N)] = i > j
SSum[i,i] = A[i]

挑战在于找到SSum的最大可能值。

我有一个基于计算B

的前缀和的O（n ^ 2）解决方案

#include <iostream>
#include <utility>

int main(){
  int N;
  std::cin >> N;

  int *a = new int[N+1];
  long long int *bPrefixSums = new long long int[N+1];

  for (int iii=1; iii<=N; iii++) //1-based arrays to prevent confusion
    std::cin >> a[iii];
  bPrefixSums[0] = 0;
  for (int b,iii=1; iii<=N; iii++){
    std::cin >> b;
    bPrefixSums[iii] = bPrefixSums[iii-1] + b;
  }

  long long int SSum, SSumMax=-(1<<10);

  for (int i=1; i <= N; i++)
    for (int j=1; j <= N; j++){
      if (i<j)
        SSum = a[i] + a[j] + (bPrefixSums[j-1] - bPrefixSums[i]);
      else if (i==j)
        SSum = a[i];
      else
        SSum = a[i] + a[j] + ((bPrefixSums[N] - bPrefixSums[i]) + bPrefixSums[j-1]);
      SSumMax = std::max(SSum, SSumMax);
    }

  std::cout << SSumMax;

  return 0;
}

对于大约10 ^ 6的较大N值，程序无法在3秒内完成任务。

Answer 1

由于我没有足够的代表来添加评论，我将在这个答案中写下这些想法。

这个问题非常好，我实际上受到了link的启发。感谢@superty。

我们可能会单独考虑此问题，换句话说，分为三个条件：i == j，i < j，i > j。我们只需要找到最大的结果。

考虑i == j：最大结果应为a [i]，并且很容易在O（n）时间复杂度中找到答案。

考虑i < j：它与经典的最大和问题非常相似，并且对于每个j，我们只需要找到左边的i设法制作结果最大。

首先考虑经典问题，如果要求我们得到数组a的最大部分和，我们计算a的前缀和，以获得O（n）复杂度。现在在这个问题上，它几乎是一样的。

您可以在此处看到（i < j），我们有SSum[i,j] = A[i] + A[j] + B[t (where t = i+1, i+2, ..., j-1)] = (B[1] + B[2] + ... + B[j - 1] + A[j]) - (B[1] + B[2] + ... B[i] - A[i])，当j保持不变时第一个词保持不变，而i保持不变时第一个词保持不变1}}保持不变。所以现在的解决方案非常明确，你得到两个前缀和＆＃39;并为每个prefix_sum_2[i]找到最小的prefix_sum_1[j]。

考虑i > j：它与SO上的discussion非常相似（但这个讨论并没有多大帮助）。

同样，我们得到SSum[i,j] = A[i] + A[j] + B[t (where t = 1, 2, ..., j-1, i+1, i+2, ..., N)] = (B[1] + B[2] + ... + B[j - 1] + A[j]) + (A[i] + B[i + 1] + ... + B[n - 1] + B[n])。现在你需要得到数组的prefix-sum和suffix-sum（我们需要prefix_sum[i] = a[i] + prefix_sum[i - 1] - a[i - 1]和后缀类似），并获得另外两个数组，比如ans_left[i]为the maximum value of the first term for all j <= i和ans_right[j]为the maximum value of the second term for i >= j，因此此条件下的答案是所有(ans_left[i] + ans_right[i + 1])

中的最大值

最后，原始问题所需的最大结果是这三个子案例的答案的最大值。

很清楚地看到总复杂度是O（n）。

两个不同阵列的最大切片和

1 个答案: