开放量子系统建模

Question

我使用open quantum system对Lindblad Equation进行建模已经有很长一段时间了。汉密尔顿主义者如下：

然而，汉密尔顿主义者增加了另外两个矩阵。其中一个的所有对角线项都等于-33.3333i，其他一切都为零。另一个是矩阵，第三个对角线项等于-0.033333i。

Lindblad方程就是这样：

其中L_i是矩阵（在列表中：[L1，L2，L3，L4，L5，L6，L7]）。 L_i的矩阵只是一个7x7矩阵，除了L_（ii）= 1之外全零。 H是总哈密顿量，是密度矩阵，是一个等于的常数，其中T是温度，k是玻尔兹曼常数， ，其中h是普朗克常数。 （请注意，gamma位于natural units）

以下代码解决了Lindblad方程，因此计算密度矩阵。然后计算并绘制这个与时间的关系：

这被称为3号站点。 被称为胸罩而被称为胸罩。两者都是载体。在这种情况下，请参阅代码以了解它们的定义。

以下是代码：

from qutip import Qobj, Options, mesolve
import numpy as np
import scipy
from math import *
import matplotlib.pyplot as plt

hamiltonian = np.array([
    [215, -104.1, 5.1, -4.3, 4.7, -15.1, -7.8],
    [-104.1, 220.0, 32.6, 7.1, 5.4, 8.3, 0.8],
    [5.1, 32.6, 0.0, -46.8, 1.0, -8.1, 5.1],
    [-4.3, 7.1, -46.8, 125.0, -70.7, -14.7, -61.5],
    [4.7, 5.4, 1.0, -70.7, 450.0, 89.7, -2.5],
    [-15.1, 8.3, -8.1, -14.7, 89.7, 330.0, 32.7],
    [-7.8, 0.8, 5.1, -61.5, -2.5, 32.7, 280.0]
])

recomb = np.zeros((7, 7), dtype=complex)
np.fill_diagonal(recomb, 33.33333333)
recomb = recomb * -1j
trap = np.zeros((7, 7), complex)
trap[2][2] = -0.033333333333j
hamiltonian = recomb + trap + hamiltonian
H = Qobj(hamiltonian)

# Note the extra .0 on the end to convert to float
gamma = (2 * pi) * (296 * 0.695) * (35.0 / 150)

L1 = np.array([
    [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
])

L2 = np.array([
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
])

L3 = np.array([
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
])      

L4 = np.array([
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
])

L5 = np.array([
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
])

L6 = np.array([
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
])

L7 = np.array([
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
])

# Since our gamma variable cannot be directly applied onto
# the Lindblad operator, we must multiply it with
# the collapse operators:  

rho0=Qobj(L1)

L1 = Qobj(gamma * L1)
L2 = Qobj(gamma * L2)
L3 = Qobj(gamma * L3)
L4 = Qobj(gamma * L4)
L5 = Qobj(gamma * L5)
L6 = Qobj(gamma * L6)
L7 = Qobj(gamma * L7)

options = Options(nsteps=1000000, atol=1e-5)

bra3 = [[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]]
bra3q = Qobj(bra3)

ket3 = [[0], [0], [1], [0], [0], [0], [0]]
ket3q = Qobj(ket3)

starttime = 0
# this is effectively just a label - `mesolve` alwasys starts from `rho0` -
# it's just saying what we're going to call the time at t0
endtime = 100
# Arbitrary - this solves with the options above
# (max 1 million iterations to converge - tolerance 1e-10)
num_intermediate_state = 100

state_evaluation_times = np.linspace(
    starttime,
    endtime,
    num_intermediate_state
)

result = mesolve(
    H,
    rho0,
    state_evaluation_times,
    [L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7],
    [],
    options=options
)

number_of_interest = bra3q * (result.states * ket3q)

points_to_plot = []
for number in number_of_interest:
    if number == number_of_interest[0]:
        points_to_plot.append(0)
    else:
        points_to_plot.append(number.data.data.real[0])

plt.plot(state_evaluation_times, points_to_plot)
plt.show()
exit()

此代码使用称为qutip的Python模块。它有一个内置的Lindblad方程求解器，使用scipy.integrate.odeint。

目前，该程序显示：

然而，站点3总体的限制应该是0.因此，它应该缓慢地减少到零。特别是在t = 75时，应该开始减少。

此代码运行，但没有像我解释的那样产生正确的结果。所以现在，为什么它不能产生正确的结果呢？我的代码有问题吗？

我查看了我的代码，每行看看它是否与我正在使用的模型匹配。他们完美匹配。问题必须出在代码中，而不是物理上。

我做了一些调试提示，所有矩阵和伽玛都是正确的。但是，我仍怀疑trap矩阵中的某些内容。我之所以这么认为是因为情节看起来像系统没有 trap矩阵的动态，我可能没有注意到陷阱矩阵的定义有什么问题吗？

注意，代码需要几分钟才能运行。在运行代码时要耐心等待！

Answer 1

（注意：这是我希望在编程意义上的答案，但不是物理答案。）

我独立运行您的模拟，而不是使用qutip，我得到的结果基本相同。所以好消息（也许是？:)）不是你的编程问题，而是物理问题，或者至少是选择参数＆＃34;问题。 这是我的结果：

我的工作笔记本，除了不同的时间尺度（下面解释），参数都与你的相同。我使用的是与qutip相同的集成方法，但没有使用qutip本身：Notebook Link。

一些注释：

1. 当您执行from math import *导入函数gamma，然后命名变量gamma时，这会给我带来问题，您可能需要小心将来。

2. 当您将linblad运算符乘以\gamma而不是总和时，它们将在主方程中出现两次，因此您实际上在此指定\gamma^2。这会影响时间尺度。

3. <3|rho(t)|3>只是第三个对角矩阵元素，你真的不需要这里的内在产品。

要检查物理/参数方面的一些事项。

1. 从您链接的论文中，
   • \Gamma肯定是100/3？
   • \kappa_3肯定是0.1 / 3而其他所有人都是0？
   • 是初始状态，绝对是所有人口都处于0状态吗？
2. 我不知道能量转移模型的日期，但这里的哈密顿函数是非埃尔米特的，非平凡的虚部（尽管仍然很小）是在密度矩阵对角线上生成的。确保你完全理解这些人使用这个模型的方式和原因，因为这对我来说似乎很奇怪！