Question

好的，让我们说你有类型

newtype Dual f a = Dual {dual :: forall r. f(a -> r)->r}

事实证明，当f是Comonad时，Dual f是Monad（有趣的练习）。它是否相反？

您可以定义fmap ab (Dual da) = Dual $ \fb -> da $ fmap (. ab) fb和extract (Dual da) = da $ return id，但我不知道如何定义duplicate或extend。

这甚至可能吗？如果没有，那么证明不存在（是否有一个特定的Monad m可以证明Dual m不是comonad）？

一些观察： Dual IO a基本上是Void（而Const Void是有效的Comonad）。 Dual m a 的MonadPlus m是 Void（只需使用dual mzero）。 Dual Reader是Env。 Dual Writer是Traced。我认为Dual State是Store。

Answer 1

是的，实际上任何仿函数都会以这种方式产生一个独特的comonad，除非f == 0。

让F成为Hask的endofunctor。让

W(a) = ∀r.F(a->r)->r
W(f) = F(f∗)∗
       where g∗(h) = h∘g

一旦你意识到以下同构，这个难题就会变成几何/组合：

定理1。

假设两种类型（∀r.r-> F（r））（∀r.F（r） - > r）都不为空。然后存在类型W（a）is（∀r.F（r） - > r，a）的同构。

证明：

class Functor f => Fibration f where
        projection   :: ∀r. f(r)->r
        some_section :: ∀r. r->f(r) -- _any_ section will work

to :: forall f a. Fibration f
      => (∀r.f(a->r) -> r)
      -> (∀r.f(r)->r, a)
to(f) = ( f . fmap const
        , f(some_section(id)))

from :: forall f a. Fibration f
        => (∀r.f(r)->r, a)
        -> (∀r.f(a->r) -> r)
from (π,η) = ev(η) . π

ev :: a -> (a->b) -> b
ev x f = f x

填写详细信息（我可以根据要求发布）将需要一点参数和Yoneda引理。当F不是一个Fibration（如我在上面定义的那样）时，W就像你观察到的那样是微不足道的。

如果投影是唯一的，我们可以将纤维化称为覆盖（虽然我不确定这种用法是否合适）。

承认这个定理，你可以看到W（a）是_所有可能的纤维化指数的副产品∀r.F（r） - ＆gt; r，即

W(a) ≃ ∐a
       π::∀f.F(r)->r

换句话说，仿函数W（作为Func（Hask）上的一个预言）采取纤维化并从中构造一个规范的平凡覆盖空间。

例如，让F（a）=（Int，a，a，a）。然后我们有三个明显的自然纤维F（a） - > a。用+编写副产品，下面的图表和上面的定理应该足以具体描述这些共同产品：

           a
           ^
           | ε
           |
         a+a+a
        ^  |  ^
     Wε |  |δ | εW
        |  v  |
(a+a+a)+(a+a+a)+(a+a+a)

所以这个议案是独一无二的。在副产品中使用明显的指数，Wε将（i，j）映射到j，εW映射（i，j）到i。因此δ必须是唯一的“对角线”映射，即δ（i）==（i，i）！

定理2。

设F为一个Fibration，让ΩW为所有comonad与底层仿函数W的集合。然后ΩW≃1。

（对不起，我还没有将证明正式化。）

对于该组monadMW的类似组合论证也将是有趣的，但是在这种情况下，MW可能不是单身。（取一些常数c并设置η：1-＆gt; c和μ（i，j）= i + j-c。）

请注意，如此构造的monads / comonads通常不原始comonads / monads的双重符号。例如，让M成为monad （F（a）=（Int，a），η（x）=（0，x），μ（n，（m，x））=（n + m，x）），即Writer 。由于定理W（a）≃a，自然投影是唯一的，并且没有办法尊重原始代数。

另请注意，comonad通常是一种Fibration（可能有许多不同的方式），除非Void，这就是为什么你从Comonad获得Monad（但这不一定是唯一的！）。

关于你观察的一些评论：

Dual IO a基本上是虚空

据我所知，在Haskell中IO的定义如下：
```
  -- ghc/libraries/ghc-prim/GHC/Types.hs
 newtype IO a = IO (State# RealWorld -> (# State# RealWorld, a #))
```
这意味着仅从类型理论中相应的覆盖是由所有State# RealWorld s索引的唯一规范覆盖空间。你是否可以（或应该）拒绝这可能是一个哲学问题，而不是技术问题。
MonadPlus m => Dual m a是Void

是的，但请注意，如果F（a）= 0，那么W（a）= 1并且它不是comonad（因为否则该指示意味着类型W（0） - ＆gt; 0≃1-＆gt; 0）。这是唯一一个W甚至不能成为任意仿函数的小事情的情况。
Dual Reader是...... 这些陈述有时是正确的，有时不是。取决于（co）代数代数是否与覆盖的（bi）代数一致。

所以我很惊讶几何Haskell真的很有趣！我猜可能有很多类似于此的几何结构。例如，对此的自然概括是考虑对于一些协变函子F，G的F-> G的“规范平凡化”。那么基本空间的自同构群将不再是微不足道的，因此需要更多的理论来正确理解它。

最后，这是一个概念证明代码。感谢一个非常令人耳目一新的谜题，并祝圣诞快乐; - ）

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
{-# LANGUAGE ScopedTypeVariables #-}

import Control.Comonad

class Functor f => Fibration f where
        x0 :: f ()
        x0 = some_section ()

        some_section :: forall r. r -> f(r)
        some_section x = fmap (const x) x0

        projection :: forall r. f(r) -> r

newtype W f a = W { un_w :: forall r. f(a->r)->r }

instance Functor f =>  Functor (W f) where
        fmap f (W c) = W $ c . fmap (. f)

instance Fibration f => Comonad (W f) where
        extract = ε
        duplicate = δ

-- The counit is determined uniquely, independently of the choice of a particular section.
ε :: forall f a. Fibration f => W f a -> a
ε (W f) = f (some_section id)

-- The comultiplication is unique too.
δ :: forall f a. Fibration f => W f a -> W f (W f a)
δ f = W $ ev(f) . un_w f . fmap const

ev :: forall a b. a -> (a->b)->b
ev x f = f x

-- An Example
data Pair a = P {p1 ::a
                ,p2 :: a
                 }
               deriving (Eq,Show)

instance Functor Pair where
        fmap f (P x y) = P (f x)  (f y)

instance Fibration Pair where
        x0 = P () ()
        projection = p1

type PairCover a = W Pair a

-- How to construct a cover (you will need unsafePerformIO if you want W IO.)
cover :: a -> W Pair a
cover x = W $ ev(x) . p1

你能根据`Monads`来定义`Comonads`吗？

1 个答案: